Processo di Poisson

Sia una successione di variabili aleatorie su reali e indipendenti, tutte di legge (osserviamo che ).


Poniamo . Fissato , sia

Una possibile interpretazione di questa quantità è la seguente: supponiamo che ogni indichi la durata di vita di uno strumento[1] e supponiamo che ogni volta che lo strumento -esimo si guasta venga immediatamente sostituito con l'-esimo:


Allora , a valori in , è il numero totale di guasti in un lasso di tempo . Cerchiamo di capirne la legge:

Sappiamo che è il prodotto di convoluzione di copie di , ovvero . Quindi

. Ovvero la legge essenziale di è di Poisson: . Di conseguenza, come d'altronde è logico aspettarsi,

si dice blocco di Poisson associato a .

Stazionarietà ed indipendenza degli incrementi[modifica | modifica wikitesto]

Considerando sempre la stessa e dato ,

è lo sviluppo futuro del processo a partire da . Si dimostra che e sono isonomi ed indipendenti; anzi, più in generale sono indipendenti e .

Baricentro[modifica | modifica wikitesto]

Se , il baricentro di è:

Questo ci fa sospettare che nel caso generale abbia baricentro ... ed in effetti è proprio così:

C'è però un modo più furbo per ottenere lo stesso risultato: sia il baricentro di , con . Siccome

ne consegue che ,


Osservazione 8.3

L'equazione è detta di Cauchy, ed una funzione che la rispetti si dice -lineare. Lo spazio di tali funzioni (che assume una base di Hamel[2]) contiene anche funzioni estremamente irregolari; nel nostro caso però è garantita la crescenza, per cui possiamo concludere che la funzione è boreliana e infine lineare.

 
  1. Decidere di modellizzare questa situazione con una variabile esponenziale, che non ha memoria, significa assumere che stiamo trattando strumenti che non subiscono l'usura.
  2. Una base di Hamel è una base infinita da cui però si ottiene ogni elemento dello spazio come combinazione lineare di una quantità finita di termini.
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