Leggi condizionali

Siano variabili aleatorie indipendenti definite su a valori in , , di legge rispettivamente e sia misurabile. Allora sappiamo che

Ma se e non sono indipendenti? Farebbe comodo trovare una famiglia di leggi su tale che

Se esiste, si chiama versione della legge condizionale di rispetto a .


In generale non è possibile trovare una versione della legge condizionale. Se ne esiste una e siamo su uno spazio avente una base numerabile, si dimostra però che è essenzialmente unica.


Il caso banale è ovviamente quello in cui e sono indipendenti e quindi .


Osservazione 8.6

Quando esiste tale che , si dice legge condizionale anche solo .

 


Esempio 8.3

Un esempio già meno banale di esistenza della legge condizionale è quello di un generico spazio discreto. Sia e sia la disintegrazione di secondo . Allora definita come è una versione della legge condizionale.

Dimostrazione

 
 


Tornando al caso generale, supponiamo che esista versione della legge condizionale di rispetto a . Sia con . Allora

Se poi supponiamo che sia non trascurabile, scopriamo che
Questa uguaglianza prende il nome di formula di Bayes generalizzata. Se , abbiamo la versione classica della formula di Bayes.

Unicità[modifica | modifica wikitesto]

Sia un sistema di generatori numerabile per .

O.B.d.A.[1] possiamo assumere che sia una "base" numerabile. Supponiamo poi che e siano due versioni della legge condizionata di rispetto a . Allora, fissato e per ogni ,

Le misure e di base sono quindi uguali (modulo ). Di conseguenza sta in e . Posto
dalla numerabilità di segue che .


Esempio 8.4

Un caso di esistenza della legge condizionale è quello di spazio topologico "polacco", ovvero tale che esista una metrica compatibile che lo renda completo, con la sua tribù boreliana.

 


Osservazione 8.7

Una variabile aleatoria reale avrà quindi legge condizionale.

 


Teorema 8.6

Siano definite su a valori rispettivamente in e . Siano inoltre misure -finite su tali che . Sia poi una versione della "prima densità marginale", ovvero [2]. Poniamo infine:

Allora e . Inoltre, se per ogni denotiamo con la legge su avente come densità rispetto a

allora la famiglia è una versione della legge condizionale di rispetto a .

 
Dimostrazione

e , dove:

perché è l'insieme su cui differiscono due versioni di una stessa densità. Quindi . Ora, data qualsiasi che sia misurabile su ,

Possiamo però limitarci a calcolare , dato che e quindi è quasi certamente 1:
In molti casi in realtà questo calcolo si rivela non necessario.

 

Teorema sulla legge condizionale di una variabile aleatoria composta[modifica | modifica wikitesto]

Teorema 8.7

Siano variabili aleatorie su a valori in e sia una versione della legge condizionale di rispetto a . Allora, data una funzione misurabile con spazio misurabile, esiste una versione della legge condizionale di rispetto ad .

 
Dimostrazione

, chiamiamo la legge immagine di mediante l'applicazione . Allora è una versione della legge condizionale. Infatti, data misurabile,

dove l'ultima uguaglianza è giustificata dal teorema sull'integrazione rispetto ad una misura immagine.

 
Esempio 8.5

Su , sia una successione di variabili aleatorie reali, indipendenti, di legge ; sia inoltre . Sia inoltre una variabile aleatoria avente legge geometrica di parametro e supponiamo che sia indipendente da . Definiamo per rincollamento come su . Qual'è una versione della legge condizionale di rispetto a ? Prendiamo , la disintegrazione di secondo . , sia quindi . Questa è l'unica versione della legge condizionale di rispetto ad .


Osserviamo che (perché e sono isonome secondo ) e , (perché è indipendente da ), quindi e ha densità (su ):

Quale sarà la legge di ? Sappiamo che è la mistura delle varie leggi ottenuta pesanto gli indici secondo la legge di e cioé:

La densità è quindi:
Ovvero abbiamo ancora una legge esponenziale, con esponente più basso.

 


Esempio 8.6

Vediamo un esempio un po' meno banale: , indipendenti di leggi rispettivamente . Cerchiamo una versione della legge condizionale di rispetto a . ammette densità, in quanto trasformazione lineare di , che l'ammette. Siano (O.B.d.A. supponiamo che assumano entrambe valori in ). Sappiamo già che sono indipendenti e che , con densità

Abbiamo "in omaggio" una legge condizionale di rispetto a : la famiglia costante i cui termini sono . una versione della legge condizionale di rispetto a è la famiglia dove è l'immagine di mediante la moltiplicazione per , ovvero è la legge di : applichiamo semplicemente un'omotetia. ha legge
è una versione della legge condizionale di rispetto a .

 
  1. "Ohne Beschränkung der Allgemeinheit", ovvero "senza perdita di generalità". Ma vuoi mettere dirlo in tedesco?! OK, non è facile da ricordare, ma già se ti ricordi la sigla fai un figurone, il resto lo inventi.
  2. Sappiamo che una versione della densità di rispetto ad esiste:
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