Funzione Gamma di Eulero

La funzione di Eulero è definita, per ogni , come:

Osserviamo che .


Si indica con (con ) la legge di densità , dove:

Verifichiamo che è effettivamente una legge di probabilità, ovvero che ha massa 1:


Osservazione 8.2

 


Teorema 8.2

 
Dimostrazione

Infatti, posto ,
dove i termini
e
sono costanti in , mentre è, modulo una costante, . D'altronde, sappiamo già che la convoluzione di due densità di probabilità sarà una densità di probabilità, per cui la nostra costante è quella "giusta".

 

Ovvero avremo:

Osserviamo che possiamo calcolare facilmente e . Di conseguenza:

Questo ci permette di dimostrare per induzione che, per qualsiasi, , ovvero è una "interpolazione" del fattoriale[1]. In particolare, dati ,

Inoltre, il teorema 8.2 ci consente di fare un'osservazione interessante:

  1. O meglio lo è
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