Diffeomorfismi

Dato , siano un vettore aleatorio e un diffeomorfismo di su . Allora è un vettore aleatorio.

5 grafo diffeomorfismi.png

Supponiamo che . Viene il sospetto che

Infatti:
dove con indichiamo lo jacobiano. Se quindi definiamo ,

In particolare, posta con , abbiamo la tesi:


Esempio 8.1

Sia e consideriamo due variabili aleatorie reali e , con (ovvero ). Se è la densità di , allora la densità di è:

 


Osservazione 8.5

Il teorema appena enunciato sarebbe di per sé limitante, perché la condizione che sia un diffeomorfismo è piuttosto restrittiva: si utilizzerà più spesso diffeomorfismi da in aperti di .

 


Più in generale, si può considerare una famiglia di aperti non vuoti di a due a due disgiunti e tali che sia concentrata su ed una funzione boreliana tale che la restrizione di ad sia sempre un diffeomorfismo di su .


Dimostrazione

Siano date ; per ogni , consideriamo

Sia boreliana su . Allora
dove e quindi è una versione della densità di .

 


Il notevole vantaggio di questa generalizzazione è che i non sono necessariamente disgiunti.

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