Convoluzione

Consideriamo una -upla di leggi su . Possiamo cosruire variabili reali su indipendenti di legge rispettivamente . Data poi , dipende solo dalla -upla (e non dal modo in cui abbiamo costruito e ).


Dimostrazione

Sia . Allora:

dove è
Quindi

 


L'ultimo termine di questa eguaglianza, ovvero la legge di , si chiama "prodotto di convoluzione di " e si denota con oppure

.


Teorema 8.1

Siano due leggi su , con assolutamente continua rispetto alla misura di Borel-Lebesgue , e più precisamente . Allora e più precisamente dove

 


Dimostrazione

è reale, positiva, boreliana per il teorema di Fubini. Sia boreliana positiva su : allora ha senso scrivere . Inoltre:

(in con indichiamo al solito la funzione "somma degli argomenti"; in e stiamo sfruttando il teorema di Fubini)

Sappiamo quindi che

e per la genericità di concludiamo che ; infatti, dato un qualsiasi ,
.

 


Consideriamo un caso particolare: quello in cui anche , e più precisamente . Allora

si dice "prodotto di convoluzione" di , e non a caso: la dimostrazione appena svolta mostra che .


Un altro caso particolare degno di nota è quello in cui sono nulle al di fuori di . Allora

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