Caratterizzazione delle leggi esponenziali

È possibile caratterizzare le leggi esponenziali in base alle seguenti caratteristiche:

  1. hanno baricentro finito
  2. hanno assenza di memoria in media (ovvero, modulo l'opportuno condizionamento, la speranza - non necessariamente la legge[1] - resta invariata).

Infatti:

Teorema 8.3

Su , sia una variabile aleatoria reale integrabile tale che:

  • , posto risulti


Allora è una legge esponenziale.

 
Dimostrazione

Sappiamo che ; sia tale che

Allora, per l'assenza di memoria,
Sia ; siccome , l'eguaglianza appena vista si trasforma in:

Quindi è continua e derivabile, e

 


Osservazione 8.4

Si vede facilmente che le due condizioni date (baricentro finito ed assenza di memoria in media) sono entrambe conseguenze della sola condizione di avere assenza di memoria in legge, che quindi di per sé permette di caratterizzare le leggi esponenziali.

 
  1. Che nelle variabili esponenziali la legge (modulo l'opportuno condizionamento) resti invariata, lo sappiamo già; per caratterizzarle è però sufficiente quest'ipotesi più debole.
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