Secondo Lemma di Borel-Cantelli

Su , sia una successione di eventi a due a due indipendenti. Supponiamo

allora[1] è quasi certo.

Dimostrazione

Sia

Allora
ma
infatti

Siccome poi le funzioni indicatrici degli eventi sono indipendenti,

Questo implica che c'è anche convergenza in probabilità e che quindi esiste inoltre una sottosuccessione convergente quasi certamente:
per quasi ogni ,

quindi per quasi ogni

e di conseguenza è quasi certo.

 


Quindi, nel caso in cui sia una successione di eventi indipendenti, , che è terminale rispetto a , è degenere e la legge 0-1 di Kolmogorov è completata dai due lemmi che abbiamo visto.


Tornando al caso di una successione di variabili aleatorie, ricordiamo che

Dimostriamo che (b) (a): sia , con successione di eventi a due a due indipendenti tali che

Ovviamente , perché , con . è quasi certo, quindi è plateale che .


Si dimostra facilmente anche che in generale (c) (b).


La convergenza in probabilità è una convergenza deducibile da una topologia? Sì, e addirittura da una quasi-metrica, ovvero uno spazio provvisto di una funzione che rispetti tutti gli assiomi di distanza tranne .


Dimostrazione

Dato , sia lo spazio vettoriale delle variabili aleatorie su . Per , definiamo .

 
Osservazione 12.5

Quella definita non è una misura perché appunto

Questo spazio topologico non è localmente connesso, quindi non ci sono funzionali continui non banali.

 


La convergenza quasi certa invece è deducibile da una topologia? No: se ma , la successione viola una proprietà di tutte le convergenze topologiche, e cioé che per ogni intorno di la successione sta definitivamente in .

Applicazione della legge dei grandi numeri per variabili aleatorie indipendenti ed isonome ad un processo di Poisson[modifica | modifica wikitesto]

Su , consideriamo una successione di variabili aleatorie reali indipendenti di comune legge . Sia come al solito e definiamo:

è una variabile discreta a valori in . ; lo si dimostrava calcolando e trovando

Una dimostrazione più diretta consiste nell'osservare che

quindi, per quasi ogni ,

ovvero è trascurabile.


Osservazione 12.6

Supponiamo di sapere che ; allora
Infatti , e per la legge forte di Kolmogorov .

 


Osservazione 12.7

ovvero

 
Dimostrazione

Ma come posso applicare il teorema di Lindeberg-Lévy?

 

Un caso particolare di convergenza debole[modifica | modifica wikitesto]

Sia costituito solo di punti isolati e consideriamo una successione di misure concentrate su . è numerabile e quindi boreliano. Allora sono equivalenti:

Dimostrazione

(a) (b): se , esisteranno tali che . Per ipotesi,

Ma . (b) (c): sia . Sappiamo che
dove
e, per il teorema di Scheffé, che converge a -quasi certamente. Quindi
(a) (b): essendoci convergenza uniforme sui boreliani,

 

Trasformate di Fourier di leggi note[modifica | modifica wikitesto]

  • Bernoulli :
  • Binomiale :
  • Poisson :


Sia una successione di leggi su (ovviamente concentrate su ) con successione in tale che . Allora . Infatti:

dove . Quindi

Osservazione 12.8

Quello che sapevamo già era che

 
  1. La formulazione del lemma qui riportata è dovuta a Erdős e Rényi
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