Passeggiate aleatorie

Su , sia una successione di variabili aleatorie indipendenti ed isonome. Definiamo (e ). Allora è la passeggiata aleatoria[1] su associata a . Sia la legge di : quale sarà una versione della legge condizionale di rispetto al blocco ? Semplice: siccome , con indipendente da ,

dove, è l'immagine di mediante la funzione

Dato che è costante, l'indipendenza è garantita e una versione della legge condizionale è : questo è un caso speciale della proprietà di Markov (ovvero del fatto che gli stati futuri dipendono da quello presente ma non da quelli passati).


L'ambiente della generica passeggiata aleatoria è un gruppo topologico.

Esempio 12.1

avrà valori in
L'immagine della ripartizione uniforme su ottenuta tramite è una misura di Haar, ovvero è invariante per traslazione[2]


Qual'è una versione della legge condizionale di rispetto a ?

è l'immagine di mediante , ovvero . Il blocco dei passi e quello della passeggiata sono isonomi (c'è assoluta assenza di memoria).

 
Esempio 12.2

Su , sia . Posto

dimostriamo che ; si può fare sfruttando il paradosso di Borel:
Sia ; l'insieme
è quasi certo e lo è quindi anche l'intersezione al variare degli . Ma e quindi
ovvero è quasi certamente .[3]

 
  1. È la tipica passeggiata di un ubriaco: casuale e senza memoria.
  2. L'importanza di questa categoria di misure è legata al fatto che l'invarianza le rende papabili per una definizione di volume.
  3. Dopo queste ultime parole, è scattato l'applauso.
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