Legge debole dei grandi numeri per variabili aleatorie indipendenti ed isonome

Su , sia una successione di variabili aleatorie indipendenti, integrabili ed isonome. Definiamo

Sotto le condizioni date, .


Osservazione 12.1

Nella versione forte della stessa legge, la legge forte di Kolmogorov,

 
Osservazione 12.2

È sufficiente che le siano indipendenti due a due.

 


Dimostrazione

Sarà sufficiente dimostrare che in legge, dato che il limite è una variabile aleatoria degenere e quindi

Definiamo

Sia la funzione caratteristica delle . Certamente ; inoltre, siccome esse sono centrate, con . Di conseguenza:

, funzione caratteristica della costante 0.

 


Bernoulli dimostrò questa legge nel caso particolare delle variabili aleatorie bernoulliane.

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