Legge debole dei grandi numeri per variabili aleatorie a due a due non correlate

Su , sia una successione in di variabili a due a due non correlate, con

Allora:

(la convergenza in implica poi quella in e quindi quella in probabilità).


Dimostrazione

La tesi è che , ma osserviamo che, essendo centrata,

Siccome poi le variabili aleatorie sono non correlate a due a due,

 


Osservazione 12.3

Nella versione forte di questa stessa legge, detta "legge forte di Rajchman", .

 


Teorema 12.1

Su , sia una successione in di variabili aleatorie reali isonome, indipendenti e non degeneri. Siano

Allora - ed "è un risultato che ha del miracoloso" - .

 


Dimostrazione

Definiamo

Scriviamo e ; in virtù del teorema di Paul Lévy, la tesi si può riformulare come
Siccome ogni è centrata e normalizzata, possiamo scrivere
dove . Quindi:
dove .

 


Applichiamo subito questo risultato: per ogni , sia la funzione di ripartizione di e sia quella di : allora . Si può dimostrare anche che la convergenza è uniforme, ovvero

Berry ed Essen hanno dimostrato che se la legge delle ha momento assoluto del III ordine finito, allora

dove

è una costante universale tra 0 e 1 di cui di anno in anno vengono date maggiorazioni sempre più efficaci.

Approssimazione normale[modifica | modifica wikitesto]

L'approssimazione fornita dal teorema di Lindeberg-Lévy ci permette di approssimare anche:

dove .


Osservazione 12.4

Consideriamo su e sia . Allora:

 
Dimostrazione

Per il criterio sotto-sotto, esiste una sottosuccessione che converge verso quasi (secondo ) certamente e quindi quasi certamente anche secondo .

 


Consideriamo ora su a valori in e a valori reali tale che . Supponiamo che le siano tutte indipendenti da . Allora è indipendente da .

Dimostrazione

Consideriamo tale che e quindi abbia senso . So che ; di conseguenza

Dall'arbitrarietà di deriva che è indipendente da .

 


Un'altra applicazione del teorema di Lindeberg-Lévy è la seguente: date , sia . Allora

Infatti, data funzione test,

Un risultato simile vale per la convergenza in probabilità e quella quasi certa:

  • , sempre perché per il criterio sotto-sotto trovo e avente una sottosuccessione convergente quasi certamente.
  • (ovvio)
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