Indipendenza e stazionarietà degli incrementi in un processo di Poisson

Su , consideriamo successioni di variabili aleatorie reali positive e sia

si dice processo di conteggio associato a . Noi ne abbiamo visto solo un caso particolare, il processo di Poisson: le hanno legge . Allora, dato ,

Supponendo , definiamo

Sia , definiamo , il "tempo che separa dal successivo guasto", per rincollamento:

ovvero

Similmente, sarà il tempo da attendere per il secondo guasto e, in generale,

è quindi il processo di conteggio associato alla successione

Proposizione 12.1

Le sono tutte esponenziali di parametro

 
Dimostrazione

È sufficiente dimostrare che, fissato , è una -upla di variabili aleatorie indipendenti di legge . Possiamo farlo sfruttando il criterio delle basi: è una base dei boreliani; basta quindi dimostrare che

Vorremmo però anche dimostrare che è indipendente da . È sufficiente che per ogni della forma , la legge di secondo sia identica a , ovvero che

Ma e, ricordando che sotto l'ipotesi si ha ,

Dobbiamo quindi dimostrare che

Ma con , e possiamo studiare
dove
Abbiamo quindi dimostrato che è il processo di conteggio associato a e quindi:

  1. è indipendente da , perché tale è
  2. è un processo di Poisson perché
 

Formulazione equivalente[modifica | modifica wikitesto]

Sia : allora è l'incremento del processo relativo a . Se sono intervalli consecutivi, i relativi incrementi sono indipendenti e di leggi .


Dimostrazione

per induzione: il caso è ovvio. Passo induttivo: gli incrementi di relativi a formano una -upla di incrementi del processo . Applicando l'ipotesi induttiva a , troviamo che il blocco di incrementi è indipendente da (cioé dall'incremento di relativo a )

 


Osservazione 12.9

Se non fossero contigui, li potrei comunque vedere come una sottofamiglia di contigui: l'importante è che siano disgiunti.

 


Abbiamo visto che è indipendente da . Ma è indipendente anche da ; si verifica facilmente osservando che è indipendente rispetto agli incrementi (che generano la stessa tribù).

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