Variabili aleatorie su spazi discreti

Osservazione 5.2

Una famiglia di spazi misurabili con finito ed discreto , munita della tribù prodotto è uno spazio misurabile discreto. La tribù prodotto contiene i singoletti ed è quindi l'intera tribù delle parti. Quindi, date variabili aleatorie discrete a valore in uno spazio , il blocco è pure una variabile aleatoria discreta. Di conseguenza, data (dove ), si ha che è ancora una variabile aleatoria discreta a valori in .

 

Leggi di Bernoulli e binomiale[modifica | modifica wikitesto]

Chiamiamo legge di Bernoulli di parametro (con ) la legge su con (scriveremo ). Chiamiamo processo di Bernoulli di parametro un blocco della forma , dove è una successione di variabili aleatorie con legge indipendenti.


Dati e , uno spazio e una successione di variabili aleatorie indipendenti con legge , chiamiamo legge binomiale di parametri la legge della variabile aleatoria . Osserviamo che è quindi una variabile aleatoria discreta a valori in .


In altre parole, una variabile aleatoria con legge binomiale può essere vista come un blocco iniziale di un processo di Bernoulli composto con l'operazione di somma.


Calcoliamo ora la densità discreta di (ovvero della sua legge): definiamo

Ogni suo elemento è della forma , quindi
Indicheremo tale legge come .


Osservazione 5.3

La legge non è altro che la legge .

 


Se su uno spazio abbiamo una successione di variabili aleatorie discrete a valori in , sono equivalenti:

  1. è un blocco di Bernoulli di parametro
  2. è della forma


Infatti ,

Primo successo[modifica | modifica wikitesto]

Sia un processo di Bernoulli di parametro . A variare di in , sia[1]


è l'istante del primo successo.

Quindi è una variabile aleatoria discreta a valori in . Da quanto appena scritto, si calcola facilmente la sua legge:

  1. Consideriamo il limite inferiore invece che il minimo perché se , il minimo non esiste (mentre il limite inferiore viene convenzionalmente fissato a ).
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