Tribù separabili

Quest'ultimo teorema ci fornisce, in un caso importante, un risultato notevole.

Diciamo una tribù separabile se è numerabilmente generata, ovvero se ammette un sistema di generatori numerabile.


Teorema 5.5

Sia uno spazio misurabile con separabile: allora le sole leggi degeneri su sono quelle di Dirac.

 


Dimostrazione

Sia un sistema di generatori numerabile per . Possiamo supporre, come sopra, che . Quindi:

Di conseguenza, .

 


Osservazione 5.15

Non è per forza vero che per un qualche . Può benissimo esistere un tale che

Se però rende misurabili i singoletti, questa possibilità scompare ed ogni misura degenere è la misura di Dirac per un unico .

 


Corollario 5.1

La tribù, considerata precedentemente, degli insiemi numerabili o conumerabili su uno spazio più che numerabile non è separabile.

 


Esempio 5.7

Sia : sappiamo che i boreliani sono numerabilmente generati, quindi le uniche misure degeneri sono quelle di Dirac. Se invece consideriamo e , otteniamo uno spazio non separabile.[1].

 

Variabili aleatorie degeneri[modifica | modifica wikitesto]

Chiamiamo degeneri ovviamente quelle variabili aleatorie la cui legge è degenere.

È evidente che se una variabile aleatoria è equivalente (modulo ) ad una costante, è degenere. Come potremmo ormai aspettarci, l'implicazione inversa è vera a condizione di porre due ipotesi aggiuntive sulla sua immagine :

  1. separabile


Osservazione 5.16

 


Dimostrazione

Sia . è degenere è di Dirac . Ma Quindi .

 
  1. E questo nonostante !
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