Spazi prodotto

Consideriamo gli spazi misurabili e . Siano una base di e una base di . Nasce naturale la domanda:

è una base per ? Verifichiamo uno alla volta i requisiti che dovrebbe avere:

  1. è ottenibile come unione numerabile di elementi di ?
  2. è stabile per intersezione?
  3. ?
  • siccome sono basi,

Quindi non è altro che:

  • ovviamente .


Per dimostrare l'altro contenimento, osserviamo che è la minima tribù su che renda misurabili le proiezioni canoniche definite come:

Infatti
Questi eventi sono ovviamente inclusi in , ma soprattutto una tribù contenente tutti questi eventi ne contiene anche le intersezioni e quindi include . Ma si dimostra facilmente che anche rende misurabili le proiezioni canoniche; per farlo, sfruttiamo il criterio fondamentale di indipendenza:
Quindi

Lo stesso ragionamento permette di dimostrare che rende misurabile la proiezione . Di conseguenza .


Osservazione 5.9

Questo ragionamento si estende in modo ovvio per induzione ad una -upla qualunque di spazi misurabili.

 

Corollario[modifica | modifica wikitesto]

su , sia una -upla di variabili aleatorie con a valori in . Per ogni , sia una base per . Allora si equivalgono:

  1. e le sono indipendenti
  2. -upla di eventi con ,


Dimostrazione

Sia . Per il criterio fondamentale,

 


Esempio 5.4

Diamo un caso, piuttosto banale, in cui tale risultato si applica: supponiamo che gli siano discreti e che . Allora al variare di possiamo considerare la base

Sia una misura di probabilità su e la corrispondente densità discreta (). Allora (a) è equivalente a:

In altri termini, ha come densità discreta il "prodotto tensoriale":

 
Esempio 5.5

Su , sia un processo di Bernoulli di parametro e una variabile aleatoria con legge . Sia

e definiamo per rincollamento in modo tale che, , essa coincida con su .


Vogliamo calcolare la legge del blocco :

Quindi , ovvero dove hanno legge rispettivamente .

 


Osservazione 5.10

L'esercizio appena svolto fornisce un buon modello per la seguente situazione: supponiamo di gestire un centralino che riceve delle chiamate; il numero di chiamate in un giorno/in un'ora/in un minuto tipicamente si modellizza bene con una variabile poissoniana[1]. Supponiamo ora che ci siano due operatori e e che il centralino redirezioni le chiamate in modo casuale (con probabilità ) verso uno dei due. Allora l'evento significherà "-esima chiamata dirottata su " e indicherà il numero totale di chiamate arrivate ad .

 
  1. Ovviamente la faccenda si complica se si ha a disposizione anche dei dati sulle chiamate ricevute negli ultimi giorni/nelle ultime ore/negli ultimi minuti
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