Proprietà associativa dell'indipendenza

Sia una famiglia di variabili aleatorie . Sia una partizione di , ovvero

, sia . Allora si equivalgono:

  1. è una famiglia di variabili aleatorie indipendenti
      • è una famiglia indipendente e#* è una famiglia indipendente.


Dimostrazione
Osservazione 5.5

fissiamo . Com'è fatta la tribù generata da ?

Inoltre

 

Detto ciò, e osservato che (a)(b)(1) è ovvio, dimostriamo (a)(b)(2): ci aiuta il criterio delle indipendenze individuali, che ci dice che e sono indipendenti se lo sono le rispettive tribù (e le tribù lo sono). (a): sempre per il criterio fondamentale: posto con , dimostriamo che con e indipendenti. Supponiamo un certo abbia intersezione non vuota con . Se , abbiamo che definisce una famiglia di variabili aleatorie indipendenti perché sottoinsieme della famiglia definita da . Altrimenti, possiamo partizionare in e . Le tribù generate

sono sottotribù di tribù indipendenti e quindi a loro volta indipendenti.

 

Applichiamo subito questo risultato in un caso particolare: sia un processo di Bernoulli di parametro su ; fissiamo inoltre . Qual'è la probabilità che prima o poi una certa sequenza si verifichi?

Osservazione 5.6

è diventato famoso il seguente enunciato paradossale: se diamo ad una scimmia una macchina da scrivere e le lasciamo un tempo infinito a disposizione, quasi certamente scriverà prima o poi una copia completa della Divina Commedia. Il problema appena posto può essere visto come la modellizzazione di una scimma che batte su una macchina da scrivere... "in binario!"

 

Sia . Stiamo cercando

Osserviamo che, posto , si ha

Ma . Infatti, per la proprietà associativa appena vista, è di Bernoulli, e sappiamo che nei processi di Bernoulli l'evento è quasi certo. Di conseguenza, .


Osservazione 5.7

Il "paradosso della scimmia" è noto anche come - o meglio è il corrispettivo folkloristico de - il "paradosso di Borel". Notiamo en passant che è giusto chiamarlo paradosso perché consiste in un teorema che, se interpretato, cozza con l'intuizione, diversamente dalle "antinomie", che sono semplicemente contraddizioni, non dovute ad un'interpretazione ma riscontrabili anche in un processo formalmente corretto, e dai "sofismi", che invece consistono in pseudo-ragionamenti che infrangono in modo sottile determinate regole di derivazione.

 


Questo risultato, nella sua paradossalità, riporta alla mente un'opinione di Ennio De Giorgi: egli diceva che gli schemi finiti si capiscono solo alla luce di quelli infiniti.

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