Misure degeneri

Una misura di probabilità si dice degenere se assume solo i valori 0 e 1.

Esempio 5.1

Un esempio di misura degenere è dato dalle funzioni di Dirac: la funzione di Dirac relativa ad un eventualità $x$ $x$ è definita come:

D_{x}(A)={\begin{cases}1&{\text{ se }}x\in A\\0&{\text{ se }}x\not \in A\end{cases}}

In altri termini, $D_{x}(A)=I_{A}(x)$ $D_{x}(A)=I_{A}(x)$ .

Una variabile aleatoria si dice degenere se tale è la sua legge.

Un evento si dice degenere se ha probabilità 0 o 1.

Proposizione 5.1

sia $X$ $X$ una variabile aleatoria su $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ a valori in $(E,{\mathcal {E}})$ $(E,{\mathcal {E}})$ . Allora sono equivalenti:

$X$ $X$ è degenere
$X$ $X$ è indipendente da ogni variabile aleatoria definita su $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$
$X$ $X$ è indipendente da sé stessa

Dimostrazione

(a) $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ (b) è semplice: per (a), $X$ $X$ definirà soltanto eventi $A$ $A$ quasi certi o trascurabili, ovvero tali che, dato un $H$ $H$ qualsiasi,