Misure degeneri

Una misura di probabilità si dice degenere se assume solo i valori 0 e 1.


Esempio 5.1

Un esempio di misura degenere è dato dalle funzioni di Dirac: la funzione di Dirac relativa ad un eventualità è definita come:


In altri termini, .

 


Una variabile aleatoria si dice degenere se tale è la sua legge.

Un evento si dice degenere se ha probabilità 0 o 1.


Proposizione 5.1

sia una variabile aleatoria su a valori in . Allora sono equivalenti:

  1. è degenere
  2. è indipendente da ogni variabile aleatoria definita su
  3. è indipendente da sé stessa
 


Dimostrazione

(a) (b) è semplice: per (a), definirà soltanto eventi quasi certi o trascurabili, ovvero tali che, dato un qualsiasi,

Quindi , e questo per ogni elemento della tribù generata da una qualsiasi variabile aleatoria . Quindi e sono indipendenti. (b) (c) è banale. (c) (a): è indipendente da sé stessa, quindi dato , è indipendente da sé stesso, quindi:

 
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