Leggi degeneri

Osservazione 5.12

Abbiamo visto già vari esempi del fatto che ogni misura di probabilità si può vedere come legge di una variabile aleatoria.

Sappiamo che un esempio di leggi degeneri è dato dalle leggi di Dirac:

D_{x}(A)={\begin{cases}1&{\text{ se }}x\in A\\0&{\text{ se }}x\not \in A\end{cases}}

Potrebbe venire il sospetto che ogni legge degenere sia la legge di Dirac $D_{x}$ $D_{x}$ per una qualche eventualità $x$ $x$ . Verifichiamo che non è vero.

Osservazione 5.13

Una legge di Dirac non è mai diffusa. Infatti $D_{x}\{x\}=1\not =0$ $D_{x}\{x\}=1\not =0$ .

Sia $E$ $E$ un insieme infinito più che numerabile ed ${\mathcal {E}}=\tau (\{\{x\}\mid x\in E\})$ ${\mathcal {E}}=\tau (\{\{x\}\mid x\in E\})$ . ${\mathcal {E}}$ ${\mathcal {E}}$ contiene ogni sottoinsieme di $E$ $E$ che sia numerabile o abbia complementare numerabile. In particolare contiene ovviamente $E$ $E$ , il cui complementare è $\emptyset$ $\emptyset$ .

Possiamo definire su $(E,{\mathcal {E}})$ $(E,{\mathcal {E}})$ la seguente misura:

\mu (A)={\begin{cases}0&{\text{ se }}A{\text{ è numerabile}}\\1&{\text{ altrimenti (}}A^{C}{\text{ è numerabile)}}\end{cases}}

Ovviamente i due casi della definizione si escludono perché $E=A\cup A^{C}$ $E=A\cup A^{C}$ è più che numerabile. È altrettanto evidente che $\mu$ $\mu$ è una misura degenere. Tuttavia, essendo diffusa, non può essere di Dirac.

Osservazione 5.14

Si può anche dimostrare l'esistenza di uno spazio T2, compatto, sulla cui tribù boreliana esiste una legge diffusa.