Legge essenziale

Dato uno spazio $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$$(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$, una variabile aleatoria discreta $X$$X$ a valori in $E$$E$ avrà legge $\mu =X(P)$$\mu =X(P)$, misura di probabilità su ${\mathcal {P}}(E)$${\mathcal {P}}(E)$. Può però succedere che

$$E_{0}{\stackrel {def}{=}}\{x\in E\mid \mu \{x\}\not =0\}$$

$$E_{0}{\stackrel {def}{=}}\{x\in E\mid \mu \{x\}\not =0\}$$

sia non banale, ovvero diverso da $E$$E$ stesso. In tal caso, $\mu _{0}=\mu |_{{\mathcal {P}}(E_{0})}$$\mu _{0}=\mu |_{{\mathcal {P}}(E_{0})}$ si dice "legge essenziale" di $X$$X$.

Tornando ad un processo di Bernoulli $X=[X_{n}]_{n\geq 1}$$X=[X_{n}]_{n\geq 1}$ di parametro $p$$p$ su $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$$(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$, sempre con:

$${\begin{aligned}&T:\Omega \rightarrow \mathbb {N} ^{*}\cup \{\infty \}\\&T(\omega )=\inf\{n\in \mathbb {N} ^{*}\mid X_{n}(\omega )=1\}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&T:\Omega \rightarrow \mathbb {N} ^{*}\cup \{\infty \}\\&T(\omega )=\inf\{n\in \mathbb {N} ^{*}\mid X_{n}(\omega )=1\}\end{aligned}}$$

abbiamo che, siccome $P\{T=\infty \}=0$$P\{T=\infty \}=0$, la legge definita solo su $\mathbb {N} ^{*}$$\mathbb {N} ^{*}$ come $P\{T=n\}=pq^{n-1}$$P\{T=n\}=pq^{n-1}$ è la legge essenziale di $T$$T$. Tale legge viene detta "geometrica" (ed abbreviata con ${\mathcal {G}}(p)$${\mathcal {G}}(p)$).

Fissato ora $n\geq 0$$n\geq 0$, consideriamo

$$Y{\stackrel {def}{=}}[X_{n+h}]_{h\in \mathbb {N} ^{*}}$$

$$Y{\stackrel {def}{=}}[X_{n+h}]_{h\in \mathbb {N} ^{*}}$$

Ovviamente $n=0\Leftrightarrow Y=X$$n=0\Leftrightarrow Y=X$. Ma anche per $n\not =0$$n\not =0$, $Y$$Y$ è ancora un processo di Bernoulli; viene detto "processo del futuro" ed è indipendente dal blocco "passato"

$$[X_{i}]_{1\leq i\leq n}$$

$$[X_{i}]_{1\leq i\leq n}$$

Fissato $n\geq 0$$n\geq 0$, sia

$$H{\stackrel {def}{=}}\{T>n\}=\{X_{1}=0,X_{2}=0\dots X_{n}=0\}$$

$$H{\stackrel {def}{=}}\{T>n\}=\{X_{1}=0,X_{2}=0\dots X_{n}=0\}$$

$T-n$$T-n$ coincide su $H$$H$ con la variabile aleatoria $V=$$V=$""primo successo di $Y$$Y$"".

$$T-n\sim V(\mod P_{H})\Rightarrow (T-n)(P_{H})=V(P_{H})\sim {\mathcal {G}}(p)$$

$$T-n\sim V(\mod P_{H})\Rightarrow (T-n)(P_{H})=V(P_{H})\sim {\mathcal {G}}(p)$$

$Y$$Y$ è un processo di Bernoulli secondo $P_{H}$$P_{H}$, quindi

$$(T-n)(P_{H})=T(P)$$

$$(T-n)(P_{H})=T(P)$$

Questa proprietà dei processi di Bernoulli si chiama "assenza di memoria".

Caratterizzazione della legge geometrica

Sia $T$$T$ una variabile aleatoria su $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)\rightarrow \mathbb {N} ^{*}\cup \{+\infty \}$$(\Omega ,{\mathcal {A}},P)\rightarrow \mathbb {N} ^{*}\cup \{+\infty \}$ tale che:

1. $T\not \sim \infty (\mod P)$$T\not \sim \infty (\mod P)$
2. $\forall n\geq 0\;\;\;P\{T>n\}\not =0$$\forall n\geq 0\;\;\;P\{T>n\}\not =0$
3. assenza di memoria: $\forall n\geq 0$$\forall n\geq 0$, posto $H_{n}=\{T>n\}$$H_{n}=\{T>n\}$,
   $$(T-n)(P_{H_{n}})=T(P)$$

   $$(T-n)(P_{H_{n}})=T(P)$$

Allora $T(P)$$T(P)$ è una legge geometrica.

Dimostrazione

sia $q=P\{T>1\}\Rightarrow q>0$$q=P\{T>1\}\Rightarrow q>0$.

$${\begin{aligned}\forall n\geq 0\;\;\;{\frac {P\{T>n+1\}}{P\{T>n\}}}&=P(\{T>n+1\}\mid \{T>n\})\\&=P_{H_{n}}\{T>n+1\}\\&=P_{H_{n}}\{T-n>1\}\\&{\stackrel {\text{(c)}}{=}}P\{T>1\}=q\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\forall n\geq 0\;\;\;{\frac {P\{T>n+1\}}{P\{T>n\}}}&=P(\{T>n+1\}\mid \{T>n\})\\&=P_{H_{n}}\{T>n+1\}\\&=P_{H_{n}}\{T-n>1\}\\&{\stackrel {\text{(c)}}{=}}P\{T>1\}=q\end{aligned}}$$

Sappiamo che $P\{T>0\}=1$$P\{T>0\}=1$; si dimostra quindi per induzione che

$$P\{T>n\}=q^{n}$$

$$P\{T>n\}=q^{n}$$

e quindi:

$$P\{T=n\}=P\{T>n\}\left(1-{\frac {P\{T>n+1\}}{P\{T>n\}}}\right)=q^{n}p$$

$$P\{T=n\}=P\{T>n\}\left(1-{\frac {P\{T>n+1\}}{P\{T>n\}}}\right)=q^{n}p$$

Ma siamo sicuri che $q\not =1$$q\not =1$? Sì, perché altrimenti

$$\forall n\;\;\;P\{T>n\}=1\Rightarrow P\{T=+\infty \}=1$$

$$\forall n\;\;\;P\{T>n\}=1\Rightarrow P\{T=+\infty \}=1$$

e questo contraddice l'ipotesi (a).

 

Osservazione 5.4

è evidente dal nome stesso che la proprietà di assenza di memoria ha una precisa interpretazione nella realtà: ad esempio, il lancio di una moneta ""non ricorda"" i lanci di monete eventualmente avvenuti in precedenza. Un'altra interpretazione possibile di tale proprietà è però l'""assenza di usura""; ad esempio se un oggetto viene utilizzato tutti i giorni e ogni giorno la probabilità che si rompa non dipende da quanti giorni già è stato utilizzato, tale probabilità sarà modellizzabile come un processo di Bernoulli.