Legge essenziale

Dato uno spazio , una variabile aleatoria discreta a valori in avrà legge , misura di probabilità su . Può però succedere che

sia non banale, ovvero diverso da stesso. In tal caso, si dice "legge essenziale" di .


Tornando ad un processo di Bernoulli di parametro su , sempre con:

abbiamo che, siccome , la legge definita solo su come è la legge essenziale di . Tale legge viene detta "geometrica" (ed abbreviata con ).


Fissato ora , consideriamo

Ovviamente . Ma anche per , è ancora un processo di Bernoulli; viene detto "processo del futuro" ed è indipendente dal blocco "passato"

Fissato , sia

coincide su con la variabile aleatoria ""primo successo di "".
è un processo di Bernoulli secondo , quindi
Questa proprietà dei processi di Bernoulli si chiama "assenza di memoria".

Caratterizzazione della legge geometrica[modifica | modifica wikitesto]

Sia una variabile aleatoria su tale che:

  1. assenza di memoria: , posto ,


Allora è una legge geometrica.


Dimostrazione

sia .

Sappiamo che ; si dimostra quindi per induzione che

e quindi:
Ma siamo sicuri che ? Sì, perché altrimenti
e questo contraddice l'ipotesi (a).

 


Osservazione 5.4

è evidente dal nome stesso che la proprietà di assenza di memoria ha una precisa interpretazione nella realtà: ad esempio, il lancio di una moneta ""non ricorda"" i lanci di monete eventualmente avvenuti in precedenza. Un'altra interpretazione possibile di tale proprietà è però l'""assenza di usura""; ad esempio se un oggetto viene utilizzato tutti i giorni e ogni giorno la probabilità che si rompa non dipende da quanti giorni già è stato utilizzato, tale probabilità sarà modellizzabile come un processo di Bernoulli.

 
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