Legge 0 1 di Kolmogorov

Osservazione 5.11

Introduciamo un piccolo "ingrediente tecnico": dato $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ , sia ${\mathcal {F}}\subset {\mathcal {A}}$ ${\mathcal {F}}\subset {\mathcal {A}}$ ; affinché ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ sia una tribù indipendente da $\tau (X_{i}\mid i\in I)$ $\tau (X_{i}\mid i\in I)$ è sufficiente che ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ sia indipendente da $\tau (X_{i}\mid i\in H)$ $\tau (X_{i}\mid i\in H)$ per ogni $H$ $H$ parte finita di $I$ $I$ . Infatti ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ è generata dalla variabile aleatoria identità $:\Omega \rightarrow (\Omega ,{\mathcal {F}})$ $:\Omega \rightarrow (\Omega ,{\mathcal {F}})$ .

Consideriamo $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ , $(X_{i})_{i\in I}$ $(X_{i})_{i\in I}$ con $X_{i}$ $X_{i}$ a valori in $E_{i}$ $E_i$ , $I$ $I$ numerabile. $\forall J\subset I$ $\forall J\subset I$ , sia ${\mathcal {F}}_{J}=\tau (\{X_{i}\mid i\in J\})$ ${\mathcal {F}}_{J}=\tau (\{X_{i}\mid i\in J\})$ . Sia inoltre ${\mathcal {H}}=\{H\mid H\subset I,H{\text{ finito }}\}$ ${\mathcal {H}}=\{H\mid H\subset I,H{\text{ finito }}\}$ . Chiamiamo "tribù terminale" (o "remota") relativa alla famiglia di variabili aleatorie $(X_{i})_{i\in I}$ $(X_{i})_{i\in I}$ la seguente:

\tau {\stackrel {def}{=}}\bigcap _{H\in {\mathcal {H}}}{\mathcal {F}}_{I\setminus H}

Diciamo quindi un evento $A$ $A$ "terminale" se $A\in \tau$ $A \in \tau$ . Diciamo che una variabile aleatoria $Y$ $Y$ è terminale se è misurabile rispetto a $\tau$ $\tau$ , ovvero rispetto ad ogni ${\mathcal {F}}_{I\setminus H}$ ${\mathcal {F}}_{I\setminus H}$ .

Esempio 5.6

Siano $I=\mathbb {N} ^{*},X_{i}$ $I=\mathbb {N} ^{*},X_{i}$ a valori reali; allora

A=\left\{\sum _{i\geq 1}|X_{i}|<+\infty \right\}\in \tau

Infatti le somme di finiti termini sono certamente finite, quindi, dato un qualsiasi

H\subset \mathbb {N} ^{*}

finito,

A

può essere espresso come

\left\{\sum _{i\geq 1,i\not \in H}|X_{i}|<+\infty \right\}

quindi

\forall H

finito in

\mathbb {N} ^{*},A

appartiene a

{\mathcal {F}}_{\mathbb {N} ^{*}\setminus H}\Rightarrow A\in \tau

.

Similmente, se invece supponiamo che le $X_{i}$ $X_{i}$ possano assumere valori reali "o" $\pm \infty$ $\pm \infty$ , abbiamo che la variabile aleatoria

Y{\stackrel {\text{def}}{=}}\liminf _{n\rightarrow +\infty }X_{n}

è uguale a

\liminf _{n\rightarrow +\infty ,n\not \in H}X_{n}

con

H\in \mathbb {N} ^{*}

qualsiasi, di conseguenza è misurabile rispetto ad ogni

{\mathcal {F}}_{\mathbb {N} ^{*}\setminus H}

ed è quindi terminale.

Teorema 5.2 (Legge 0-1 di Kolmogorov)

Se le variabili aleatorie $(X_{i})_{i\in I}$ $(X_{i})_{i\in I}$ sono indipendenti, ogni evento terminale è degenere.

Dimostrazione

Sia ${\mathcal {F}}_{i}$ ${\mathcal {F}}_{i}$ la tribù $\tau (\{X_{i}\mid i\in I\})$ $\tau (\{X_{i}\mid i\in I\})$ ; allora $\tau \subset {\mathcal {F}}_{i}$ $\tau \subset {\mathcal {F}}_{i}$ . Se dimostriamo che $\tau$ $\tau$ è indipendente da ${\mathcal {F}}_{i}$ ${\mathcal {F}}_{i}$ , dimostriamo che è indipendente da sé stessa e quindi degenere. Ma per dimostrare ciò, è sufficiente verificare che $\tau$ $\tau$ sia indipendente da ogni tribù ${\mathcal {F}}_{H}$ ${\mathcal {F}}_{H}$ con $H\in {\mathcal {H}}$ $H\in {\mathcal {H}}$ . Siccome poi ${\mathcal {F}}_{H}$ ${\mathcal {F}}_{H}$ e ${\mathcal {F}}_{I\setminus H}$ ${\mathcal {F}}_{I\setminus H}$ sono sempre indipendenti, lo sono anche ${\mathcal {F}}_{h}$ ${\mathcal {F}}_{h}$ e $\tau \subset {\mathcal {F}}_{I\setminus H}$ $\tau \subset {\mathcal {F}}_{I\setminus H}$ .