Legge 0 1 di Kolmogorov

Osservazione 5.11

Introduciamo un piccolo "ingrediente tecnico": dato , sia ; affinché sia una tribù indipendente da è sufficiente che sia indipendente da per ogni parte finita di . Infatti è generata dalla variabile aleatoria identità .

 

Consideriamo , con a valori in , numerabile. , sia . Sia inoltre . Chiamiamo "tribù terminale" (o "remota") relativa alla famiglia di variabili aleatorie la seguente:

Diciamo quindi un evento "terminale" se . Diciamo che una variabile aleatoria è terminale se è misurabile rispetto a , ovvero rispetto ad ogni .


Esempio 5.6

Siano a valori reali; allora

Infatti le somme di finiti termini sono certamente finite, quindi, dato un qualsiasi finito, può essere espresso come
quindi finito in appartiene a .


Similmente, se invece supponiamo che le possano assumere valori reali "o", abbiamo che la variabile aleatoria

è uguale a
con qualsiasi, di conseguenza è misurabile rispetto ad ogni ed è quindi terminale.

 


Teorema 5.2 (Legge 0-1 di Kolmogorov)

Se le variabili aleatorie sono indipendenti, ogni evento terminale è degenere.

 


Dimostrazione

Sia la tribù ; allora . Se dimostriamo che è indipendente da , dimostriamo che è indipendente da sé stessa e quindi degenere. Ma per dimostrare ciò, è sufficiente verificare che sia indipendente da ogni tribù con . Siccome poi e sono sempre indipendenti, lo sono anche e .

 
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