Introduzione

La parola isonomia deriva dal greco $\iota \sigma o\sigma$ $\iota \sigma o\sigma$ (uguale) e $\nu o\mu o\varsigma$ $\nu o\mu o\varsigma$ (legge); due variabili aleatorie $X,Y$ $X,Y$ a valori in uno stesso spazio $(E,{\mathcal {E}})$ $(E,{\mathcal {E}})$ si dicono isonome se hanno la stessa legge (taluni preferiscono il sinonimo di origine anglofona identicamente distribuite).

Se $X,Y$ $X,Y$ sono definite su uno stesso spazio, assumono valori in uno stesso spazio $(E,{\mathcal {E}})$ $(E,{\mathcal {E}})$ e sono coincidenti su un evento $H\in {\mathcal {E}}$ $H\in {\mathcal {E}}$ quasi certo, allora sono isonome. Infatti, dato $A\in {\mathcal {E}}$ $A\in {\mathcal {E}}$ ,

\{X\in A\}=\left(\{X\in A\}\cap H\right)\cup \left(\{X\in A\}\cap H^{C}\right)

Ma $H^{C}$ $H^{C}$ è trascurabile $\Rightarrow \{X\in A\}\cap H^{C}$ $\Rightarrow \{X\in A\}\cap H^{C}$ è trascurabile, e lo stesso procedimento vale per $Y$ $Y$ . Quindi $P\{X\in A\}=P\{Y\in A\}$ $P\{X\in A\}=P\{Y\in A\}$ .

Sembrerebbe vero anche il viceversa, ma non è così: sia $A$ $A$ un evento di probabilità ${\frac {1}{2}}$ $\frac{1}{2}$ e $I_{A}:\Omega \rightarrow \{0,1\}$ $I_{A}:\Omega \rightarrow \{0,1\}$ la sua funzione indicatrice: allora

P\{I_{A}=1\}={\frac {1}{2}}

I_{A}

ha legge uniforme su

\{0,1\}

e

I_{A^{C}}

pure, ciononostante non coincidono (in alcun punto). In altre parole, l'isonomia riguarda la probabilità sui valori, non sugli eventi primitivi.

Dato un qualsiasi insieme $H\in {\mathcal {A}}$ $H\in {\mathcal {A}}$ con $P(H)>0$ $P(H)>0$ , è evidente che se due variabili aleatorie $X,Y$ $X,Y$ coincidono su $H$ $H$ , allora $X\sim Y(\mod P_{H})$ $X\sim Y(\mod P_{H})$ .