Ancora sul criterio di indipendenza

Diamo ora un caso particolare del criterio di indipendenza applicato ad una base. Sia una variabile aleatoria discreta a valori in uno spazio discreto . Una base di è data dai singoletti e dall'insieme vuoto. Quindi, siccome è discreta, data un'altra variabile aleatoria si equivalgono:

  1. e è indipendente da
  2. della forma e tale che si ha:


Osservazione 5.1

Si potrebbe pensare che, data una famiglia di variabili aleatorie, esse siano globalmente indipendenti se e solo se sono mutualmente indipendenti. Invece non è così, e segue un controesempio. Siano a valori in e la ripartizione uniforme su tale spazio. Costruiamo e su di esso indipendenti avente entrambe come legge. Poniamo quindi . è indipendente da ; infatti, definito , induce la partizione . Su , coincide con perché è indipendente da (e quindi da ) . Su , coincide con . Dunque . Ma e sono isonome, per cui .


Però: non è indipendente da , perché ne è funzione e non è degenere.


L'ideazione di questo schema è dovuta a Vernstein e si può interpretare come il lancio di due monete, rappresentate da e , e l'analisi dei possibili risultati.

 
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