Criterio delle due basi

Nelle stesse ipotesi, siano una base per e una base per . Allora e sono indipendenti se e solo se, :


Dimostrazione

fissiamo ;

e
sono misure finite su che, per ipotesi, coincidono coincidono . Similmente, coincidono coincidono .

 

Corollario (criterio della base)[modifica | modifica wikitesto]

Siano definite su uno stesso spazio due variabili aleatorie a valori rispettivamente in , . Sia inoltre una base per e una misura di probabilità su . Allora le seguenti condizioni sono equivalenti:

  1. e è indipendente da


L'implicazione (a)(b) è ovvia, mentre (b)(a) è banalmente vera per gli eventi tali che . Supponiamo allora :

Per il criterio delle due basi ( ed ), la dimostrazione è conclusa.


Esempio 4.1

Applichiamo il criterio delle due basi: due eventi , in si dicono indipendenti se tali sono le loro funzioni indicatrici e . e assumono valori in . Possiamo considerare la base . Per il criterio delle due basi,

Se o è , l'affermazione è banalmente vera. Altrimenti:

 
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