Insiemi boreliani

Sia definito su uno spazio topologico (denotiamo con l'insieme dei chiusi [1] e con l'insieme degli aperti).


Allora è la "tribù boreliana" di e si denota con .


Esempio 1.2

 


Gli si dicono "insiemi boreliani" di .


Osservazione 1.2

Non si può definire costruttivamente e in generale la tribù boreliana senza utilizzare l"'induzione transfinita".

 
Osservazione 1.3

Si sa che , ma la dimostrazione è non costruttiva: si basa sul fatto che i due insiemi hanno cardinalità diverse:

non sul fatto che un dato appartenga a e non a .

 

Basi[modifica | modifica wikitesto]

Vorremmo definire sui Boreliani di una funzione che corrisponda al concetto intuitivo di area. Cerchiamo quindi che sia una misura ed inoltre sia tale che

Si dimostra che esiste e sotto tali condizioni ed è unica. Per la dimostrazione dell'esistenza, consideriamo che avendo definito la funzione sui rettangoli, che sono una base per tutti aperti, l'abbiamo automaticamente definita per gli aperti. Per estenderla agli insiemi non aperti, definiamo:

La dimostrazione dell'unicità è elementare una volta introdotto il concetto di base:


Si dice base per una tribù su una famiglia tale che:

  • sia stabile per intersezione finita
  • sia unione numerabile di elementi di


Siano due misure limitate e coincidenti su una base di . Allora .

Caso discreto[modifica | modifica wikitesto]

Dato numerabile, sia , ovvero l'unica algebra su in cui


Sia una misura normalizzata su E. Sia definita come

Allora si dice densità discreta di . Ovviamente:

Data poi:

, esiste ed è unica una misura tale che sia la sua densità discreta. Infatti si definisce così:


Esempio 1.3

Se è finito e , allora la misura associata a è (con ) e si dice distribuzione uniforme.

 
  1. Dal francese ""fermés""
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