Operazioni sulle distribuzioni

Le operazioni sulle distribuzioni sono definite a partire dalle operazioni sulle funzioni di prova. Per comprendere le definizioni è utile fare riferimento alle rappresentazioni integrali, valide per le distribuzioni regolari.

Rototraslazioni e diffeomorfismi

Sulle funzioni una rototraslazione è definita come ${\textstyle T_{R,b}f=f(R^{-1}(x-b))}$${\textstyle T_{R,b}f=f(R^{-1}(x-b))}$. Definiamo la rototraslazione di una distribuzione come:

$$\left\langle T_{R,b}\,\varphi ,f\right\rangle =\left\langle \varphi ,T_{R^{-1},-b}f\right\rangle$$

$$\left\langle T_{R,b}\,\varphi ,f\right\rangle =\left\langle \varphi ,T_{R^{-1},-b}f\right\rangle$$

Per distribuzioni regolari, infatti, questa definizione ha significato immediato: un semplice cambio di variabile consente di verificare l'eguaglianza

$$\int dx\,\varphi (R^{-1}(x-b))f(x)=\int dx\,\varphi (x)f(R(x+b))$$

$$\int dx\,\varphi (R^{-1}(x-b))f(x)=\int dx\,\varphi (x)f(R(x+b))$$

In generale possiamo estendere questo procedimento per definire come si comporta una distribuzione sotto un generico diffeomorfismo. Un diffeomorfismo $\xi :x\to \xi (x)$$\xi :x\to \xi (x)$è una funzione ${\mathcal {C}}^{\infty }$${\mathcal {C}}^{\infty }$ invertibile ( $det(J(x))\neq 0$$det(J(x))\neq 0$, con $J$$J$matrice jacobiana associata a $\xi$$\xi$).

Una funzione di prova è necessariamente scalare rispetto a questo cambio di variabili, ossia ${\textstyle f'(\xi (x))=f(x)\Rightarrow f'(x)=f(\xi ^{-1}(x))\equiv (\xi \ast f)(x)}$${\textstyle f'(\xi (x))=f(x)\Rightarrow f'(x)=f(\xi ^{-1}(x))\equiv (\xi \ast f)(x)}$. Sotto l'azione di $\xi ,f\to \xi \ast f$$\xi ,f\to \xi \ast f$(pull-back). Per le distribuzioni si definisce

$$\left\langle \xi \ast \varphi ,f\right\rangle =\left\langle \varphi ,\xi ^{-1}\ast f\right\rangle$$

$$\left\langle \xi \ast \varphi ,f\right\rangle =\left\langle \varphi ,\xi ^{-1}\ast f\right\rangle$$

Vediamo il significato di questa definizione per le distribuzioni regolari. Svolgiamo il secondo membro dell'eguaglianza in rappresentazione integrale

$$\int dx\,\varphi (x)(\xi ^{-1}(x)\ast f(x))=\int dx\,\varphi (x)f(\xi (x))=\int dy\,\left[det(J(y))\right]^{-1}\varphi (\xi ^{-1}(y))f(y)$$

$$\int dx\,\varphi (x)(\xi ^{-1}(x)\ast f(x))=\int dx\,\varphi (x)f(\xi (x))=\int dy\,\left[det(J(y))\right]^{-1}\varphi (\xi ^{-1}(y))f(y)$$

Eguagliando tale espressione al primo membro dell'eguaglianza ricaviamo l'espressione per $\xi \ast \varphi$$\xi \ast \varphi$:

$$(\xi \ast \varphi )(x)=\left[det(J(x))\right]^{-1}\varphi (\xi ^{-1}(x))$$

$$(\xi \ast \varphi )(x)=\left[det(J(x))\right]^{-1}\varphi (\xi ^{-1}(x))$$

Alternativamente

$$\varphi (\xi ^{-1}(x))=\left[det(J(x))\right](\xi \ast \varphi )(x)$$

$$\varphi (\xi ^{-1}(x))=\left[det(J(x))\right](\xi \ast \varphi )(x)$$

Da questa espressione notiamo che, a differenza delle funzioni di prova, le distribuzioni trasformano sotto diffeomorfismi come misure.

Derivazione

Definizione (Derivata di una distribuzione)

$$\left\langle D^{k}\varphi ,f\right\rangle =(-1)^{k}\left\langle \varphi ,D^{k}f\right\rangle$$

$$\left\langle D^{k}\varphi ,f\right\rangle =(-1)^{k}\left\langle \varphi ,D^{k}f\right\rangle$$

 

Poniamoci ancora una volta in rappresentazione integrale per comprendere il significato della definizione, e poniamo k=1.

$$\int dx\,\left({\frac {d}{dx}}\varphi (x)\right)f(x)\underbrace {=} _{IBP}-\int dx\,\varphi (x)f'(x)$$

$$\int dx\,\left({\frac {d}{dx}}\varphi (x)\right)f(x)\underbrace {=} _{IBP}-\int dx\,\varphi (x)f'(x)$$

Osservazione

La definizione è ben posta perchè se $f\in {\mathcal {D}}\Rightarrow D^{k}f\in {\mathcal {D}}$$f\in {\mathcal {D}}\Rightarrow D^{k}f\in {\mathcal {D}}$ .

 

Osservazione

Questa definizione consente di concludere che ogni distribuzione è infinitamente differenziabile. Per le ditribuzioni è quindi sempre possibile:

• scambiare l'ordine di derivazione: ${\frac {d^{2}\varphi }{dx_{j}dx_{k}}}={\frac {d^{2}\varphi }{dx_{k}dx_{j}}}$${\frac {d^{2}\varphi }{dx_{j}dx_{k}}}={\frac {d^{2}\varphi }{dx_{k}dx_{j}}}$
• scambiare l'operazione di limite con l'operazione di derivata $\varphi _{n}\to 0\Rightarrow \lim _{n\to \infty }D^{k}\varphi _{n}=D^{k}\lim _{n\to \infty }\varphi _{n}=0$$\varphi _{n}\to 0\Rightarrow \lim _{n\to \infty }D^{k}\varphi _{n}=D^{k}\lim _{n\to \infty }\varphi _{n}=0$
• scambiare l'operazione di somma con l'operazione di derivata (derivare una serie termine a termine) $D^{k}\sum \varphi _{n}=\sum D^{k}\varphi _{n}$$D^{k}\sum \varphi _{n}=\sum D^{k}\varphi _{n}$

 

Integrazione

La definizione della primitiva di una distribuzione è più delicata. Ci piacerebbe infatti procedere come per le altre definizioni e porre

$$\left\langle \Phi ,f'\right\rangle =\left\langle \varphi ,-f\right\rangle \quad \forall f\in {\mathcal {D}}$$

$$\left\langle \Phi ,f'\right\rangle =\left\langle \varphi ,-f\right\rangle \quad \forall f\in {\mathcal {D}}$$

dove $\Phi$$\Phi$ rappresenta la primitiva di $\varphi$$\varphi$. Tuttavia questa definizione non è ben posta, in quanto non tutte le funzioni in ${\mathcal {D}}$$\mathcal{D}$ hanno primitiva che è a sua volta in ${\mathcal {D}}$$\mathcal{D}$. Il seguente lemma, tuttavia, ci consente di costruire una definizione ben posta.

Lemma

Sia ${\mathcal {H}}$$\mathcal{H}$ il sottospazio di ${\mathcal {D}}$$\mathcal{D}$ delle funzioni di prova aventi primitiva in ${\mathcal {D}}$$\mathcal{D}$. Sia ora $h\in {\mathcal {H}}$$h\in {\mathcal {H}}$ e $g\in {\mathcal {D}}{\text{ t.c }}\int dx\,g(x)=1$$g\in {\mathcal {D}}{\text{ t.c }}\int dx\,g(x)=1$. $\forall f\in {\mathcal {D}}$$\forall f\in {\mathcal {D}}$ possiamo decomporre $f$$f$ come

$$f=F(\infty )g+h,\quad F(x)=\int _{-\infty }^{x}dx\,f(x)$$

$$f=F(\infty )g+h,\quad F(x)=\int _{-\infty }^{x}dx\,f(x)$$

 

Definiamo ora

$$\left\langle \Phi ,f\right\rangle =F(\infty )\left\langle \Phi ,g\right\rangle +\left\langle \Phi ,h\right\rangle =F(\infty )\left\langle \Phi ,g\right\rangle -\left\langle \varphi ,H\right\rangle \quad H(x)=\int _{-\infty }^{x}dx\,h(x)$$

$$\left\langle \Phi ,f\right\rangle =F(\infty )\left\langle \Phi ,g\right\rangle +\left\langle \Phi ,h\right\rangle =F(\infty )\left\langle \Phi ,g\right\rangle -\left\langle \varphi ,H\right\rangle \quad H(x)=\int _{-\infty }^{x}dx\,h(x)$$

Il termine $F(\infty )\left\langle \Phi ,g\right\rangle$$F(\infty )\left\langle \Phi ,g\right\rangle$ rappresenta una costante di integrazione, mentre la definizione della primitiva $\Phi$$\Phi$ di $\varphi$$\varphi$ tramite l'azione su $h$$h$ risulta ben posta perchè $h\in {\mathcal {H}}$$h\in {\mathcal {H}}$ e dunque $H(x)\in {\mathcal {D}}$$H(x)\in {\mathcal {D}}$.