Lo spazio D delle funzioni di prova

Un primo spazio di funzioni di prova è lo spazio ${\mathcal {D}}$$\mathcal{D}$, definito come

Definizione (Lo spazio D)

$${\mathcal {D}}=\left\{f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,f\in {\mathcal {C}}^{\infty },f{\text{ a supporto compatto}}\right\}$$

$${\mathcal {D}}=\left\{f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,f\in {\mathcal {C}}^{\infty },f{\text{ a supporto compatto}}\right\}$$

 

In questo spazio vi sono tutte le funzioni infinitamente differenziabili a supporto compatto, ossia nulle al di fuori di un intervallo limitato. Un primo esempio di funzione in ${\mathcal {D}}$$\mathcal{D}$ è il mollificatore, illustrato nel seguente esempio.

Esempio (Esempio: il mollificatore)

$$\mathrm {X} (x)={\begin{cases}0\quad &\left|x\right|\geq 1\\e^{\frac {1}{x^{2}-1}}\quad &\left|x\right|<1\end{cases}}$$

$$\mathrm {X} (x)={\begin{cases}0\quad &\left|x\right|\geq 1\\e^{\frac {1}{x^{2}-1}}\quad &\left|x\right|<1\end{cases}}$$

Chiaramente $\mathrm {X} (x)\in {\mathcal {C}}^{\infty }$$\mathrm {X} (x)\in {\mathcal {C}}^{\infty }$ . Inoltre $supp(\mathrm {X} )=\left[-1,1\right]$$supp(\mathrm {X} )=\left[-1,1\right]$. Dunque $\mathrm {X} (x)\in {\mathcal {D}}$$\mathrm {X} (x)\in {\mathcal {D}}$

 

Esempio (Esempio: mollificatore normalizzato)

$$\gamma _{a}(x)={\frac {\mathrm {X} (x/a)}{\int _{-\infty }^{+\infty }dx\mathrm {X} (x/a)}}={\frac {1}{a}}{\frac {\mathrm {X} (x/a)}{\int _{-1}^{1}dx\mathrm {X} (x)}}$$

$$\gamma _{a}(x)={\frac {\mathrm {X} (x/a)}{\int _{-\infty }^{+\infty }dx\mathrm {X} (x/a)}}={\frac {1}{a}}{\frac {\mathrm {X} (x/a)}{\int _{-1}^{1}dx\mathrm {X} (x)}}$$

 

Il mollificatore è un esempio importante di funzione di prova, in quanto consente di regolarizzare le funzioni continue e a supporto compatto tramite il processo di convoluzione. Vale infatti il seguente teorema.

Teorema

Ogni $f(x)$$f(x)$ continua e a supporto compatto è il limite uniforme per $a\to 0^{+}$$a\to 0^{+}$ di una famiglia $f_{a}(x)\in {\mathcal {D}}$$f_{a}(x)\in {\mathcal {D}}$.

 

Dimostrazione

Consideriamo

$$f_{a}(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }\,dy\,\gamma _{a}(x-y)f(y)$$

$$f_{a}(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }\,dy\,\gamma _{a}(x-y)f(y)$$

Verifichiamo innanzitutto che $f_{a}(x)\in {\mathcal {D}}$$f_{a}(x)\in {\mathcal {D}}$.

• $f_{a}(x)\in {\mathcal {C}}^{\infty }$$f_{a}(x)\in {\mathcal {C}}^{\infty }$. Infatti
  $${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f_{a}(x)={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}\int _{-\infty }^{+\infty }dy\,\gamma _{a}(x-y)f(y)=\int _{-\infty }^{+\infty }dy\,\left({\frac {d^{k}}{dx^{k}}}\gamma _{a}(x-y)\right)f(y),$$

  $${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f_{a}(x)={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}\int _{-\infty }^{+\infty }dy\,\gamma _{a}(x-y)f(y)=\int _{-\infty }^{+\infty }dy\,\left({\frac {d^{k}}{dx^{k}}}\gamma _{a}(x-y)\right)f(y),$$
  dove il passaggio dell'operazione di derivata sotto il segno di integrale è giustificato dalla continuità di $f$$f$. Poichè $\gamma _{a}\in {\mathcal {D}},\gamma _{a}\in {\mathcal {C}}^{\infty }$$\gamma _{a}\in {\mathcal {D}},\gamma _{a}\in {\mathcal {C}}^{\infty }$ e dunque ${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}\gamma _{a}(x-y)$${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}\gamma _{a}(x-y)$ esiste continua $\forall k$$\forall k$. Si conclude dunque che $f_{a}(x)\in {\mathcal {C}}^{\infty }$$f_{a}(x)\in {\mathcal {C}}^{\infty }$.
• $f_{a}(x)$$f_{a}(x)$ è a supporto compatto. Per ipotesi $f$$f$ è a supporto compatto, dunque $f(y)=0{\text{ per }}y<b_{1}\vee y>b_{2}$$f(y)=0{\text{ per }}y<b_{1}\vee y>b_{2}$. Inoltre $\gamma _{a}(x-y)=0{\text{ per }}x<y-a\vee x>y+a$$\gamma _{a}(x-y)=0{\text{ per }}x<y-a\vee x>y+a$. Data dunque $x>a+b_{2}\vee x<b_{1}-a$$x>a+b_{2}\vee x<b_{1}-a$ si ha in tali intervalli $f_{a}(x)=\int dy\,\gamma _{a}(x-y)f(y)=0$$f_{a}(x)=\int dy\,\gamma _{a}(x-y)f(y)=0$, e quindi $f_{a}$$f_a$ è a supporto compatto ($supp(f_{a})=\left[b_{1}-a,b_{2}+a\right]$$supp(f_{a})=\left[b_{1}-a,b_{2}+a\right]$).

Ora ci resta da dimostrare che $\lim _{a\to 0^{+}}f_{a}(x)=f(x)$$\lim _{a\to 0^{+}}f_{a}(x)=f(x)$. Consideriamo

$${\begin{aligned}\left|f(x)-f_{a}(x)\right|&=\left|f(x)-\int _{-\infty }^{+\infty }dy\,\gamma _{a}(x-y)f(y)\right|\\&=\left|\underbrace {\int _{-\infty }^{+\infty }dy\,f(x)\gamma _{a}(x-y)} _{\int _{-\infty }^{+\infty }dy\gamma _{a}(x-y)=1}-\int _{-\infty }^{+\infty }dy\,\gamma _{a}(x-y)f(y)\right|\\&\leq \int _{-\infty }^{+\infty }dy\,\left|f(x)-f(y)\right|\gamma _{a}(x-y)\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\left|f(x)-f_{a}(x)\right|&=\left|f(x)-\int _{-\infty }^{+\infty }dy\,\gamma _{a}(x-y)f(y)\right|\\&=\left|\underbrace {\int _{-\infty }^{+\infty }dy\,f(x)\gamma _{a}(x-y)} _{\int _{-\infty }^{+\infty }dy\gamma _{a}(x-y)=1}-\int _{-\infty }^{+\infty }dy\,\gamma _{a}(x-y)f(y)\right|\\&\leq \int _{-\infty }^{+\infty }dy\,\left|f(x)-f(y)\right|\gamma _{a}(x-y)\end{aligned}}$$

Poichè $f$$f$ è continua sul compatto $\left[b_{1},b_{2}\right]$$\left[b_{1},b_{2}\right]$ è ivi uniformemente continua:

$$\forall \epsilon >0\,\,\exists \,\delta >0\,\,t.c\,\left|x-y\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon$$

$$\forall \epsilon >0\,\,\exists \,\delta >0\,\,t.c\,\left|x-y\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon$$

Se ora $a<\delta$$a<\delta$ si ha

$${\begin{cases}\left|x-y\right|>\delta \quad \gamma _{a}(x-y)=0{\text{ perchè }}x-y{\text{ non è in }}\left[-a,a\right]\\\left|x-y\right|<\delta \quad \left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon \end{cases}}$$

$${\begin{cases}\left|x-y\right|>\delta \quad \gamma _{a}(x-y)=0{\text{ perchè }}x-y{\text{ non è in }}\left[-a,a\right]\\\left|x-y\right|<\delta \quad \left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon \end{cases}}$$

Poichè prendere $a<\delta$$a<\delta$ equivale a considerare il $\lim _{a\to 0^{+}}f_{a}(x)$$\lim _{a\to 0^{+}}f_{a}(x)$ si ha la tesi.

 

Questo teorema ci dice che ${\mathcal {D}}$$\mathcal{D}$ è denso nello spazio delle funzioni continue e a supporto compatto: ogni funzione continua a supporto compatto è limite uniforme di una famiglia di funzioni di prova in ${\mathcal {D}}$$\mathcal{D}$, quindi non solo continue ma anche infinitamente differenziabili.

Un altro esempio di funzione in ${\mathcal {D}}$$\mathcal{D}$ è la cosiddetta smooth characteristic function, ossia la funzione caratteristica regolarizzata dal mollificatore. Ricordiamo che la funzione caratteristica di un insieme $A$$A$ è una funzione che vale $1$$1$ se $x\in A$$x \in A$ e $0$$0$altrimenti.

Esempio (Esempio: smooth characteristic function)

Consideriamo una funzione continua

$$h(x)={\begin{cases}1\quad a-\alpha \leq x\leq b+\alpha \\0\quad x\leq d_{1}\vee x\geq d_{2}\\\end{cases}}\quad d_{1}<a-\alpha ,\,d_{2}>b+\alpha$$

$$h(x)={\begin{cases}1\quad a-\alpha \leq x\leq b+\alpha \\0\quad x\leq d_{1}\vee x\geq d_{2}\\\end{cases}}\quad d_{1}<a-\alpha ,\,d_{2}>b+\alpha$$

Tale funzione vale $1$$1$ nell'intervallo $\left[a-\alpha ,b+\alpha \right]$$\left[a-\alpha ,b+\alpha \right]$ ed è nulla al di fuori di un intervallo più ampio. Chiaramente, il supporto di $h$$h$ è compatto e $h$$h$ è continua. Definiamo

$$\mathrm {X} _{a,b}=\int _{-\infty }^{+\infty }dy\,h(y)\gamma _{\alpha }(x-y)$$

$$\mathrm {X} _{a,b}=\int _{-\infty }^{+\infty }dy\,h(y)\gamma _{\alpha }(x-y)$$

Si ha che

$$\mathrm {X} _{a,b}=1\quad a\leq x\leq b$$

$$\mathrm {X} _{a,b}=1\quad a\leq x\leq b$$

e questo giustifica di considerare $\mathrm {X} _{a,b}$$\mathrm {X} _{a,b}$ come funzione caratteristica dell'intervallo $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$. Infatti $\gamma _{\alpha }(x-y)\neq 0\Leftrightarrow x-\alpha \leq y\leq x+\alpha$$\gamma _{\alpha }(x-y)\neq 0\Leftrightarrow x-\alpha \leq y\leq x+\alpha$. Prendendo $a\leq x\leq b$$a\leq x\leq b$, si ha che per tali valori di $y$$y$$h(y)=1$$h(y)=1$. Dunque

$$\mathrm {X} _{a,b}=\int _{x-\alpha }^{x+\alpha }dy\,\gamma _{\alpha }(x-y)=1$$

$$\mathrm {X} _{a,b}=\int _{x-\alpha }^{x+\alpha }dy\,\gamma _{\alpha }(x-y)=1$$

 

Teorema

$$\forall f\in {\mathcal {C}}^{\infty },\forall \left(a,b\right)\in \mathbb {R} ,\,\,\exists g\in {\mathcal {D}}\,t.c\,g(x)=f(x)\forall x\in \left(a,b\right)$$

$$\forall f\in {\mathcal {C}}^{\infty },\forall \left(a,b\right)\in \mathbb {R} ,\,\,\exists g\in {\mathcal {D}}\,t.c\,g(x)=f(x)\forall x\in \left(a,b\right)$$

 

Dimostrazione

Consideriamo $\phi (x)=f(x)\mathrm {X} _{a,b}$$\phi (x)=f(x)\mathrm {X} _{a,b}$. Chiaramente $\phi$$\phi$ $\in {\mathcal {C}}^{\infty }$$\in {\mathcal {C}}^{\infty }$, in quanto lo sono sia $f$$f$ che $\mathrm {X} _{a,b}$$\mathrm {X} _{a,b}$. Inoltre, $\phi$$\phi$ è nulla al di fuori di un intervallo finito. Si ha quindi $\phi$$\phi$$\in {\mathcal {D}}$$\in {\mathcal {D}}$. Per $a\leq x\leq b$$a\leq x\leq b$, inoltre, $\phi (x)=f(x)$$\phi (x)=f(x)$, da cui la tesi.

 

Osservazione

Se $f\in {\mathcal {D}}$$f\in {\mathcal {D}}$ e $g\in {\mathcal {C}}^{\infty }$$g\in {\mathcal {C}}^{\infty }$, $gf\in {\mathcal {D}}$$gf\in {\mathcal {D}}$.

 

Definiamo ora la nozione di convergenza in ${\mathcal {D}}$$\mathcal{D}$.

Definizione (Convergenza in D)

$\{f_{n}\}$$\{f_{n}\}$ converge in ${\mathcal {D}}$$\mathcal{D}$ se:

1. $\{f_{n}^{(k)}\}$$\{f_{n}^{(k)}\}$ converge uniformemente
2. $suppf_{n}\subset I$$suppf_{n}\subset I$ , con $I$$I$ intervallo limitato

 

È facile notare che con questa definizione di convergenza, il limite $f=\lim _{n\to \infty }f_{n}$$f=\lim _{n\to \infty }f_{n}$ è di nuovo una test function in ${\mathcal {D}}$$\mathcal{D}$, ossia una funzione ${\mathcal {C}}^{\infty }$${\mathcal {C}}^{\infty }$ a supporto compatto. Questo indica che ${\mathcal {D}}$$\mathcal{D}$ è chiuso rispetto alla convergenza.

Per sottolineare l'importanza della seconda condizione imposta nella definizione, proponiamo alcuni esempi.

Esempio

1. $f_{n}={\frac {\gamma (x)}{n}}\to 0\,\,n\to \infty$$f_{n}={\frac {\gamma (x)}{n}}\to 0\,\,n\to \infty$. Infatti $supp{\frac {\gamma (x)}{n}}\subset \left[-1,1\right]$$supp{\frac {\gamma (x)}{n}}\subset \left[-1,1\right]$
2. $f_{n}={\frac {\gamma (x/n)}{n}}$$f_{n}={\frac {\gamma (x/n)}{n}}$non converge in ${\mathcal {D}}$$\mathcal{D}$ in quanto $\not \exists I\,\,{\text{t.c}}\,\,supp(f_{n})\subset I$$\not \exists I\,\,{\text{t.c}}\,\,supp(f_{n})\subset I$

 

Osservazione

In seguito faremo sempre riferimento alla convergenza a $0$$0$, dal momento che se $f_{n}\to f,\,\,f_{n}-f\to 0$$f_{n}\to f,\,\,f_{n}-f\to 0$, e dunque è sufficiente studiare tale caso.