Lo spazio D delle funzioni di prova

Un primo spazio di funzioni di prova è lo spazio , definito come
Definizione (Lo spazio D)

 
In questo spazio vi sono tutte le funzioni infinitamente differenziabili a supporto compatto, ossia nulle al di fuori di un intervallo limitato. Un primo esempio di funzione in è il mollificatore, illustrato nel seguente esempio.
Esempio (Esempio: il mollificatore)
Mollificatore

Chiaramente . Inoltre . Dunque
 
Esempio (Esempio: mollificatore normalizzato)

 
Il mollificatore è un esempio importante di funzione di prova, in quanto consente di regolarizzare le funzioni continue e a supporto compatto tramite il processo di convoluzione. Vale infatti il seguente teorema.
Teorema
Ogni continua e a supporto compatto è il limite uniforme per di una famiglia .
 
Dimostrazione

Consideriamo

Verifichiamo innanzitutto che .

  • . Infatti
    dove il passaggio dell'operazione di derivata sotto il segno di integrale è giustificato dalla continuità di . Poichè e dunque esiste continua . Si conclude dunque che .
  • è a supporto compatto. Per ipotesi è a supporto compatto, dunque . Inoltre . Data dunque si ha in tali intervalli , e quindi è a supporto compatto ().

Ora ci resta da dimostrare che . Consideriamo

Poichè è continua sul compatto è ivi uniformemente continua:
Se ora si ha

Poichè prendere equivale a considerare il si ha la tesi.
 

Questo teorema ci dice che è denso nello spazio delle funzioni continue e a supporto compatto: ogni funzione continua a supporto compatto è limite uniforme di una famiglia di funzioni di prova in , quindi non solo continue ma anche infinitamente differenziabili.

Un altro esempio di funzione in è la cosiddetta smooth characteristic function, ossia la funzione caratteristica regolarizzata dal mollificatore. Ricordiamo che la funzione caratteristica di un insieme è una funzione che vale se e altrimenti.

Esempio (Esempio: smooth characteristic function)

Consideriamo una funzione continua

Tale funzione vale nell'intervallo ed è nulla al di fuori di un intervallo più ampio. Chiaramente, il supporto di è compatto e è continua. Definiamo
Si ha che
e questo giustifica di considerare come funzione caratteristica dell'intervallo . Infatti . Prendendo , si ha che per tali valori di . Dunque

 
Teorema
 
Dimostrazione

Consideriamo . Chiaramente , in quanto lo sono sia che . Inoltre, è nulla al di fuori di un intervallo finito. Si ha quindi . Per , inoltre, , da cui la tesi.

 
Osservazione

Se e , .

 

Definiamo ora la nozione di convergenza in .

Definizione (Convergenza in D)

[1] converge in se:

  1. converge uniformemente
  2. , con intervallo limitato
 

È facile notare che con questa definizione di convergenza, il limite è di nuovo una test function in , ossia una funzione a supporto compatto. Questo indica che è chiuso rispetto alla convergenza.

Per sottolineare l'importanza della seconda condizione imposta nella definizione, proponiamo alcuni esempi.

Esempio
  1. . Infatti
  2. non converge in in quanto
 
Osservazione

In seguito faremo sempre riferimento alla convergenza a , dal momento che se , e dunque è sufficiente studiare tale caso.

 
  1. La definizione rimane valida considerando una famiglia di funzioni di prova, con indice continuo
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