Un primo spazio di funzioni di prova è lo spazio

, definito come
Definizione (Lo spazio D)

In questo spazio vi sono tutte le funzioni infinitamente differenziabili a supporto compatto, ossia nulle al di fuori di un intervallo limitato. Un primo esempio di funzione in

è il mollificatore, illustrato nel seguente esempio.
Esempio (Esempio: il mollificatore)

Chiaramente

. Inoltre
![{\displaystyle supp(\mathrm {X} )=\left[-1,1\right]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/5a050045f11f93c021bbddf09cacf864092c4077)
. Dunque

Esempio (Esempio: mollificatore normalizzato)

Il mollificatore è un esempio importante di funzione di prova, in quanto consente di
regolarizzare le funzioni continue e a supporto compatto tramite il processo di convoluzione. Vale infatti il seguente teorema.
Teorema
Ogni

continua e a supporto compatto è il limite uniforme per

di una famiglia

.
Dimostrazione
Consideriamo

Verifichiamo innanzitutto che

.
-
. Infatti 
dove il passaggio dell'operazione di derivata sotto il segno di integrale è giustificato dalla continuità di
. Poichè
e dunque
esiste continua
. Si conclude dunque che
.
-
è a supporto compatto. Per ipotesi
è a supporto compatto, dunque
. Inoltre
. Data dunque
si ha in tali intervalli
, e quindi
è a supporto compatto (
).
Ora ci resta da dimostrare che
. Consideriamo

Poichè

è continua sul compatto
![{\displaystyle \left[b_{1},b_{2}\right]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/f36f1b59e1556b6112f26997eefa257fca5c69f0)
è ivi uniformemente continua:

Se ora

si ha
![{\displaystyle {\begin{cases}\left|x-y\right|>\delta \quad \gamma _{a}(x-y)=0{\text{ perchè }}x-y{\text{ non è in }}\left[-a,a\right]\\\left|x-y\right|<\delta \quad \left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon \end{cases}}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/53416bc1ceaa8cc986b292e94c459f0c453b12b4)
Poichè prendere

equivale a considerare il

si ha la tesi.
Questo teorema ci dice che
è denso nello spazio delle funzioni continue e a supporto compatto: ogni funzione continua a supporto compatto è limite uniforme di una famiglia di funzioni di prova in
, quindi non solo continue ma anche infinitamente differenziabili.
Un altro esempio di funzione in
è la cosiddetta smooth characteristic function, ossia la funzione caratteristica regolarizzata dal mollificatore. Ricordiamo che la funzione caratteristica di un insieme
è una funzione che vale
se
e
altrimenti.
Esempio (Esempio: smooth characteristic function)
Consideriamo una funzione continua

Tale funzione vale

nell'intervallo
![{\displaystyle \left[a-\alpha ,b+\alpha \right]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/5cfee8d1b071490902b661c7bf6bb9eb1bfa3e12)
ed è nulla al di fuori di un intervallo più ampio. Chiaramente, il supporto di

è compatto e

è continua. Definiamo

Si ha che

e questo giustifica di considerare

come funzione caratteristica dell'intervallo
![{\displaystyle \left[a,b\right]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/f30926fb280a9fdf66fd931e14d4363cb824feaa)
.
Infatti

. Prendendo

, si ha che per tali valori di


. Dunque

Teorema

Dimostrazione
Consideriamo
. Chiaramente
, in quanto lo sono sia
che
. Inoltre,
è nulla al di fuori di un intervallo finito. Si ha quindi 
. Per
, inoltre,
, da cui la tesi.
Se
e
,
.
Definiamo ora la nozione di convergenza in
.
Definizione (Convergenza in D)
[1] converge in
se:
-
converge uniformemente
-
, con
intervallo limitato
È facile notare che con questa definizione di convergenza, il limite
è di nuovo una test function in
, ossia una funzione
a supporto compatto. Questo indica che
è chiuso rispetto alla convergenza.
Per sottolineare l'importanza della seconda condizione imposta nella definizione, proponiamo alcuni esempi.
Esempio
-
. Infatti ![{\displaystyle supp{\frac {\gamma (x)}{n}}\subset \left[-1,1\right]}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/9ee2d7af3e7e75893a2ff68a4ebfdbceb3bd4950)
-
non converge in
in quanto 
In seguito faremo sempre riferimento alla convergenza a
, dal momento che se
, e dunque è sufficiente studiare tale caso.
- ↑ La definizione rimane valida considerando una famiglia
di funzioni di prova, con
indice continuo