Distribuzioni su D: lo spazio D'

Definizione (Distribuzioni su D)

Una distribuzione è un funzionale lineare continuo , ossia una regola che assegna ad ogni funzione in un numero complesso. Tale numero, ossia l'azione della distribuzione sulla funzione di prova, verrà indicato con .

 
Definizione (Lo spazio D')

L'insieme dei funzionali lineari continui si denota con e rappresenta lo spazio duale di . è spazio lineare con le operazioni

 
Ci chiediamo ora che tipo di oggetti siano le distribuzioni in . Vedremo a breve che ogni funzione localmente integrabile definisce una distribuzione regolare su . Questo è di estrema importanza perchè ci consente di trattare le funzioni localmente integrabili come distribuzioni: tornando a quanto detto nell'Introduzione, il formalismo distribuzionale consente di trattare tutte le variabili fisiche precedentemente definite come funzioni. Tuttavia, in vi sono anche altri oggetti, le cosiddette distribuzioni singolari, che non possono essere trattate come funzioni ma acquistano senso solo in ambito distribuzionale.
Teorema

è possibile definire una distribuzione tramite

 
Dimostrazione

Dobbiamo dimostrare che il funzionale definito da , con , è lineare e continuo.

  1. linearità. Ovvia, segue dalla linearità dell'integrale.
  2. continuità. Sia una successione di funzioni di prova in , tale che . Dobbiamo mostrare che in . Iniziamo notando che, per la condizione 2. nella definizione di convergenza, le hanno supporto contenuto in un intervallo limitato. Dunque
    Valutiamo ora .
    Poichè si ha
 
Ora siamo pronti a dare la definizione di distribuzione regolare.
Definizione (Distribuzione regolare)

Una distribuzione è detta regolare se tale che

 
Definizione (Distribuzione singolare)

Una distribuzione è detta singolare se non è regolare, ossia se tale che

 
Osservazione

Date due distribuzioni regolari supponiamo

Possiamo concludere che le due funzioni localmente integrabili sono uguali? ? No! Possiamo solo concludere che sono uguali entro un insieme di misura (secondo Lebesgue) nulla, ossia le due funzioni sono uguali quasi ovunque . Vi è dunque una corrispondenza uno a uno tra le classi di equivalenza delle funzioni localmente integrabili e le distribuzioni regolari. Se tuttavia consideriamo due funzioni continue (funzioni localmente integrabili non sono necessariamente continue, in quanto possono essere continue a tratti) che inducono la stessa distribuzione, segue necessariamente . Poichè le funzioni di prova in sono continue, ogni identifica univocamente una distribuzione regolare, ed è a sua volta univocamente determinata da tale distribuzione. Considerando come lo spazio di tali distribuzioni, possiamo quindi scrivere

 
Definizione (Convergenza in D')

Data una successione di distribuzioni si dice che converge n se converge in .

 
Si può dimostrare che è chiuso rispetto a tale definizione di convergenza, ossia che il funzionale definito da è in .

Un caso particolare di convergenza è la convergenza dominata. In questo caso è possibile stabilire una relazione tra la convergenza in senso funzionale di una successione di funzioni localmente integrabili e la convergenza delle stesse intese come distribuzioni.

Teorema (Convergenza dominata)

Sia una successione di funzioni localmente integrabili che convergono quasi ovunque alla funzione . Se , ossia se la successione è dominata da una funzione localmente integrabile, allora e la successione di distribuzioni regolari corrispondenti, , converge in alla distribuzione regolare che corrisponde a .

 
Osservazione
La convergenza uniforme rientra come caso particolare nella convergenza dominata
 

Tuttavia, è possibile che una successione di distribuzioni regolari converga in , dunque in senso distribuzionale, senza che la corrispondente successione di funzioni in converga puntualmente, o che entrambe le successioni convergano ma la distribuzione limite in non corrisponda al limite della successione di funzioni localmente integrabili. I seguenti esempi mostrano il verificarsi di queste situazioni.

Esempio

Come funzioni localmente integrabili, questa successione non converge puntualmente per nessun eccetto . Tuttavia considerando la convergenza delle distribuzioni regolari associate, si ha
in quanto se è limitata. Dunque in senso distribuzionale la successione converge alla distribuzione nulla. [1]

 
Esempio

Come funzioni si ha quasi ovunque (eccetto in , dove il limite non esiste). In senso distribuzionale, tuttavia, per ogni si ha
e dunque
Questo caso mostra che anche se entrambi i limiti esistono, la corrispondenza tra il limite in senso di funzioni e in senso di distribuzioni non è garantita.

 
  1. Notare che quanto dimostrato è un caso particolare del Lemma di Riemann-Lebesgue
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