Trasporto di punti materiali

Sia un aperto regolare e limitato e sia una funzione che trasporta un punto materiale, cioe' esiste una funzione , detta flusso, tale che:

Chiamo il dominio trasportato all'istante , cioe', e prendo una generica definita in al variare di ; vogliamo vedere come cambia il valore dell'integrale nel tempo. Se tale integrale e' costante, si ha che la funzione rappresenta una densita' di massa, che viene comunemente chiamata continuo.


Lemma 61

Sia il determinante del Jacobiano del cambio di variabili . Allora vale la formula per ogni :

 
Dimostrazione

Per semplicita', vediamolo solo nel caso . Se e' abbastanza piccolo, si ha che , dunque:

dove , da cui:
cioe' la tesi.

 


Teorema 34 (del trasporto di Reynolds)

Vale la relazione:

 
Dimostrazione

Si ha:

per il teorema della divergenza.

 


Corollario 62

.

 
Dimostrazione

Basta applicare la formula precedente a .

 


Osserviamo che, se e' un continuo, allora dalla formula di Reynolds:

ad ogni tempo, dunque:
Tale equazione, detta equazione di continuita', e' una versione differenziale della formula del trasporto.


Sia adesso un continuo, e supponiamo da ora in poi , cioe' l'area di e' costante; allora per l'equazione di continuita':

Calcolando la derivata materiale di lungo , abbiamo:
quindi e' costante sulle traiettorie; se riusciamo a costruire le curve , abbiamo le linee di flusso. Se ad esempio abbiamo il problema:
per calcolare dobbiamo partire da , seguire all'indietro le linee di flusso fino a e applicare ; in altre parole .


Esempio

Poniamo , , cioe' ci interessiamo al problema . Vogliamo costruire una curva su cui e' costante; visto che:

basta porre . Se le condizioni iniziali sono e , la linea di flusso e' semplicemente , che non e' altro che la bisettrice del primo e terzo quadrante traslata su .

 


Esempio

Generalizzando leggermente l'esempio precedente, consideriamo l'equazione . Procedendo come prima, si trova che e , che e' l'equazione del flusso. Se , la soluzione e' unica, mentre se per il teorema di Peano la soluzione esiste ma puo' non essere unica. Se invece e' ancora meno regolare, tipo , l'idea e' regolarizzare la funzione per poi passare al limite (ed e' la teoria di Perna-Lions); e' stato infine risolto da Ambrosio il caso .

 


Visto che la teoria nel caso va oltre il nostro scopo, poniamoci un problema diverso: supponiamo che pero' dipende da stesso.


Esempio (Equazione di Burgers)

Consideriamo l'equazione ; come al solito, si arriva a e . Se e' tale che e' costante sulla curva , allora:

e' costante, dunque . Consideriamo ad esempio per , per e tale che si unisca in modo ; allora la linea di flusso che parte da e' la bisettrice del primo e terzo quadrante, mentre la linea di flusso che parte da e' una linea orizzontale, quindi nel punto ci sara' un punto di sovrapposizione delle linee. In questo punto non e' possibile trovare il valore corrispondente , in quanto si potrebbe tornare indietro a tramite due linee di flusso diverse, quindi non e' ben definito. In questo caso si parla di formazione di uno shock, in quanto partendo da una funzione , si ottiene al tempo una funzione che ha uno scalino in . Se invece consideriamo una tale che per e per , si ottiene un piano delle fasi in cui la soluzione non e' definita per (rarefation fan), in quanto le linee di flusso sono orizzontali per e di coefficiente angolare per .

 
 PrecedenteSuccessivo