I polinomi di Hermite

Definiamo -esimo polinomio di Hermite:

E' una semplice induzione vedere che ; vogliamo mostrare in questa piccola sezione che tali polinomi formano una (a volte) conveniente base di . Come prima osservazione, vediamo che gli non sono ortogonali nel senso classico, ma definendo il prodotto scalare "con peso" :
si ha che gli sono ortogonali in . Infatti, piu' in generale, se e' un polinomio di grado :
Inoltre, con un banale calcolo, .


Adesso invece vogliamo mostrare che gli sono un sistema completo, cioe' che, se e' tale che per ogni , allora quasi ovunque. Osserviamo innanzitutto che una tale e' ortogonale a tutti i polinomi, in quanto con combinazioni lineari finite degli posso ottenere un qualunque polinomio (poiche'). A questo punto, visto che (in quanto il secondo termine e' un polinomio), si ha:

quindi quasi ovunque.

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