Funzioni di Bessel

Riprendiamo il problema della membrana vibrante nell'aperto ; passando in coordinate polari si ottiene il problema:

Separando due volte le variabili, si trovano due facili equazioni in e , e una in :
che, tramite il cambio di variabili e , si trasforma in:
Il punto e' un punto singolare, ma e'regolare, in quanto i coefficienti dell'equazione non vanno a piu' velocemente di una potenza. Tale equazione differenziale non e' risolvibile esplicitamente, cioe' non esiste una soluzione esprimibile tramite combinazione di funzioni elementari; se pero' prendiamo una del tipo:
con parametro e , ed imponiamo che risolva l'equazione della membrana, otteniamo:
cioe':
Se , abbiamo , cioe'. Se , , cioe'; si puo' avere o . In questa breve trattazione consideriamo solo il caso . Ricorsivamente, si ha:
da cui:
e finalmente:
Storicamente, si pone , dunque, sostituendo, si ottiene:
detta funzione di Bessel di prima specie di ordine . Tale funzione analitica ha raggio di convergenza per ogni e nei casi particolari diventa:
Inoltre, se , e sono linearmente indipendenti (e dunque le loro combinazioni lineari generano lo spazio delle soluzioni dell'equazione della membrana); se invece , , e l'altra soluzione dell'equazione della membrana e' la funzione di Bessel di seconda specie.


Un'osservazione che ci potra' essere utile e' la seguente:

Infine, mostriamo che la funzione generatrice delle funzioni di Bessel di ordine intero e':
Infatti, essendo tutte serie assolutamente convergenti, possiamo scrivere:

Il precedente risultato e' particolarmente utile: se infatti poniamo , otteniamo:

cioe'e' l'-esimo coefficiente di Fourier di , da cui:
Da questo ricaviamo la disuguaglianza (non banale) , ; inoltre:
quindi anche . Usando Parseval, si ha anche l'identita' valida per ogni :

Concludiamo questa breve finestra di teoria con due teoremi:


Teorema (35 di separazione di Sturm)

Se , fra due zeri consecutivi di ne esiste sempre uno di .

 



Teorema (36 Sturm-Liuville)

, zeri positivi di . Sia ; allora e' una base ortogonale di , dove il peso e', cioe':

 


Vediamo come tutta questa teoria si applica in pratica; una prima applicazione immediata e' nel problema della membrana bidimensionale, in quanto da un teorema visto sul prodotto di due basi ortogonali si ottiene:


Teorema (37)

Siano gli zeri positivi di ; allora l'insieme:

e' una base ortogonale di .

 


Un'altra applicazione coinvolge la trasformata di Fourier di funzioni radiali; prendiamo in una funzione radiale. Anche la sua trasformata di Fourier e' radiale, in quanto, passando in coordinate polari , :

dove abbiamo usato il cambio di variabili . Il conto precedente ci permette anche di definire la trasformata di Hankel in :
Con un conto simile si ottiene una formula analoga in :
in generale la formula in coinvolge la funzione di Bessel . La trasformata di Fourier di funzioni radiali si applica a un calcolo piuttosto esotico che permette di calcolare il diametro di stelle avendo solo immagini sfocate di essa; volendo accennare ad esso, si calcola la trasformata di Fourier della funzione:
che risulta essere:
e si ragiona sugli zeri di tale trasformata. Per dettagli ulteriori consiglio di consultare il capitolo corrispondente (uno degli ultimi) del libro Fourier Analysis di Korner.

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