Forme differenziali e decomposizione di Helmholtz-Weyl

Richiamiamo le definizioni degli operatori differenziali e alcune loro proprieta'. Sia $f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ $f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ una funzione scalare e ${\vec {u}},{\vec {v}}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ ${\vec {u}},{\vec {v}}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ funzioni vettoriali; si definiscono:

Rotore:

{\mbox{rot}}({\vec {u}})={\vec {\nabla }}\times {\vec {u}}=\det {\begin{pmatrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\\partial _{1}&\partial _{2}&\partial _{3}\\{\vec {u}}_{1}&{\vec {u}}_{2}&{\vec {u}}_{3}\end{pmatrix}};

{\mbox{rot}}({\vec {u}})={\vec {\nabla }}\times {\vec {u}}=\det {\begin{pmatrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\\partial _{1}&\partial _{2}&\partial _{3}\\{\vec {u}}_{1}&{\vec {u}}_{2}&{\vec {u}}_{3}\end{pmatrix}};

Divergenza:

{\mbox{dive}}({\vec {u}})={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}=\sum _{i=1}^{3}{\partial _{i}{\vec {u}}_{i}};

Laplaciano:

\Delta f={\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}f),\qquad \Delta {\vec {u}}=\Delta {\vec {u}}_{1}{\hat {i}}+\Delta {\vec {u}}_{2}{\hat {j}}+\Delta {\vec {u}}_{3}{\hat {k}}.

Valgono le proprieta':

${\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}f)=0$ ${\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}f)=0$ ;

${\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {u}})=-\Delta {\vec {u}}+{\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}})$ ${\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {u}})=-\Delta {\vec {u}}+{\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}})$ ;

${\vec {\nabla }}\cdot (f{\vec {u}})=f{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}+{\vec {\nabla }}f\cdot {\vec {u}}$ ${\vec {\nabla }}\cdot (f{\vec {u}})=f{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}+{\vec {\nabla }}f\cdot {\vec {u}}$ ;

${\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {u}}\times {\vec {v}})={\vec {u}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {v}})-{\vec {v}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {u}})$ ${\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {u}}\times {\vec {v}})={\vec {u}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {v}})-{\vec {v}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {u}})$ .

Richiamiamo anche le prime definizioni di integrali su curve e di 1-forme differenziali. Si definisce integrale di linea di I specie un integrale della forma:

\int _{\gamma }{fds}=\int _{a}^{b}{f(\gamma (t))\|{\dot {\gamma }}(t)\|dt},

dove

\gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}

e' una curva regolare e

C^1

a tratti e

f:\gamma ([a,b])\rightarrow \mathbb {R}

e' una funzione scalare.

Dall'algebra lineare sappiamo che $(\mathbb {R} ^{n})^{*}\cong \mathbb {R} ^{n}$ $(\mathbb {R} ^{n})^{*}\cong \mathbb {R} ^{n}$ e una base del duale e' formata dai funzionali $\pi _{i}$ $\pi _{i}$ tali che $\pi _{i}(x)=x_{i}$ $\pi _{i}(x)=x_{i}$ (l' $i$ $i$ -esima coordinata di $x$ $x$ ); in questo contesto si denota $dx_{i}=d\pi _{i}=\pi _{i}$ $dx_{i}=d\pi _{i}=\pi _{i}$ . Una 1-formae' una scrittura del tipo:

\omega (y)=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}(y)dx_{i}},

dove

a_{i}(y)\in C^{0}(\Omega )

,

\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}

aperto regolare. Se

f:\Omega \rightarrow \mathbb {R}

e' differenziabile, si definisce differenziale di

f

la 1-forma:

df=\sum _{i=1}^{n}{{\frac {\partial f}{\partial y_{i}}}dx_{i}}.

Una 1-forma

\omega

si dice esatta se esiste una funzione differenziabile

f

tale che

\omega=df

.

f

si dice primitiva di

\omega

.

Esempio

Ci interessiamo al problema di trovare $f$ $f$ tale che:

\nabla f=a,

dove

a

e' una funzione vettoriale assegnata. Condizione evidentemente necessaria e' che la matrice

(\partial _{i}a_{j})

sia simmetrica, in quanto

\partial _{ij}f=\partial _{ji}f

. Una 1-forma con tale proprieta' si dice chiusa. Oppure, se ci troviamo nell'insieme delle funzioni 1-dimensionali periodiche, l'equazione:

f'=\sum _{k=0}^{\infty }{a_{k}e^{ikt}}

ha soluzione

\iff a_0=0

. Da questi semplici esempi osserviamo che non sempre le forme sono esatte. Un problema simile, anch'esso molto importante, e'

\nabla \times f=a

, in quanto avrebbe collegamenti immediati con l'equazione di Poisson; ad esempio, dato il problema:

{\begin{cases}\Delta u=f&{\text{in }}\Omega \\n\cdot \nabla u={\frac {\partial u}{\partial n}}=0&{\text{in }}\partial \Omega \end{cases}}

puo' essere trasformato, ponendo

v=\nabla u

, nel problema:

{\begin{cases}\nabla \cdot v=f&{\text{in }}\Omega \\n\cdot v=0&{\text{in }}\partial \Omega \end{cases}}

Anche questo problema, pero', non e' sempre risolubile, poiche':

\int _{\Omega }{fdx}=\int _{\Omega }{\Delta udx}=\int _{\partial \Omega }{{\frac {\partial u}{\partial n}}dS}=0,

dunque ad esempio

f

deve essere a media nulla.

Presa $\omega$ $\omega$ una 1-forma continua definita su un aperto $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ , definiamo integrale di II specie:

\int _{\gamma }{\omega }=\int _{a}^{b}{\omega (\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)dt}=\int _{a}^{b}{\sum _{i=1}^{n}{a_{i}(\gamma (t)){\dot {\gamma _{i}}}(t)}dt},

dove

\gamma :[a,b]\rightarrow \Omega

e' una curva regolare

C^1

a tratti.

Osservazione

Se $\omega =\sum _{i=1}^{n}{a_{i}(y)dx_{i}}$ $\omega =\sum _{i=1}^{n}{a_{i}(y)dx_{i}}$ , si ha la scrittura equivalente:

\int _{\gamma }{\omega }=\int _{a}^{b}{\sum _{i=1}^{n}{a_{i}(\gamma (t)){\frac {{\dot {\gamma _{i}}}(t)}{\|{\dot {\gamma }}(t)\|}}\|{\dot {\gamma }}(t)\|}dt}=\int _{a}^{b}{\langle a,\tau \rangle ds},

dove

\tau

e' il versore tangente alla curva

\gamma

.

Enunciamo qualche risultato di base sulle 1-forme senza dimostrazione:

Teorema (28)

$\omega \in C^{0}(\Omega )$ $\omega \in C^{0}(\Omega )$ 1-forma esatta con primitiva $f$ $f$ , $\Omega$ $\Omega$ connesso. Allora:

\int _{\gamma (x,y)}{\omega }=f(y)-f(x),

dove

\gamma (x,y)

e' un arco che congiunge

x

e

y

, dunque in particolare l'integrale non dipende dal percorso.

Teorema (29)

Vale il viceversa del teorema precedente, cioe' se $\int _{\gamma (x,y)}{\omega }$ $\int _{\gamma (x,y)}{\omega }$ non dipende da $\gamma$ $\gamma$ , allora $\omega$ $\omega$ e' esatta.

Dimostrazione (Idea della dimostrazione)

Basta mostrare che, fissato $x_{0}\in \Omega$ $x_0\in \Omega$ , $f(x)=\int _{\gamma (x_{0},x)}{\omega }$ $f(x)=\int _{\gamma (x_{0},x)}{\omega }$ e' una primitiva di $\omega$ $\omega$ .

Corollario (59)

Se $\int _{\gamma }{\omega }=0$ $\int _{\gamma }{\omega }=0$ per ogni cammino chiuso $\gamma$ $\gamma$ , allora $\omega$ $\omega$ e' esatta.

Teorema (30)

Se $\Omega$ $\Omega$ e' semplicemente connesso, allora ogni forma chiusa in $\Omega$ $\Omega$ e' esatta.

Proposizione (60)

Sia $\Omega$ $\Omega$ un aperto semplicemente connesso, e sia $u\in C^{1}(\Omega )$ $u\in C^{1}(\Omega )$ tale che

\int _{\Omega }{u\cdot wdx}=0

per ogni funzione test

w\in U(\Omega )

. Allora

u\in G

, cioe'

u=\nabla p

.

Dimostrazione

Sia $h\in C_{0}^{\infty }(\Omega )$ $h\in C_{0}^{\infty }(\Omega )$ tale che $w=\nabla \times h$ $w=\nabla \times h$ . Allora:

0=\int _{\Omega }{u\cdot (\nabla \times h)dx}=\int _{\Omega }{\nabla \cdot (u\times h)dx}+\int _{\Omega }{(\nabla \times u)\cdot h}=\underbrace {\int _{\partial \Omega }{(u\times h)\cdot n_{i}dS}} _{=0}+\int _{\Omega }{(\nabla \times u)\cdot h}

per ogni

h\in C_{0}^{\infty }

funzione test, dunque

\nabla \times u=0

. Ma questo e' equivalente all'esistenza di un potenziale, cioe'

u=\nabla p

.

Teorema (31)

$\Omega$ $\Omega$ aperto limitato, $u\in C^{0}(\Omega )$ $u\in C^0(\Omega)$ tale che $\int _{\Omega }{u\cdot w}=0$ $\int _{\Omega }{u\cdot w}=0$ $\forall w\in U(\Omega )$ $\forall w\in U(\Omega )$ . Allora $u=\nabla p$ $u=\nabla p$ .

Dimostrazione

Consideriamo una curva $\gamma :[a,b]\rightarrow \Omega$ $\gamma :[a,b]\rightarrow \Omega$ chiusa, regolare e $C^{1}$ $C^1$ a tratti e denotiamo $\varepsilon _{0}=d(\gamma ,\partial \Omega )$ $\varepsilon _{0}=d(\gamma ,\partial \Omega )$ . Preso $0<\varepsilon <{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}$ $0<\varepsilon <{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}$ , consideriamo il mollificatore $\rho (x)=\rho (\|x\|)\in C_{0}^{\infty }(\Omega )$ $\rho (x)=\rho (\|x\|)\in C_{0}^{\infty }(\Omega )$ con supporto contenuto in $B(0,1)$ $B(0,1)$ e denotiamo $\rho _{\varepsilon }={\frac {1}{\varepsilon ^{3}}}\rho \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)$ $\rho _{\varepsilon }={\frac {1}{\varepsilon ^{3}}}\rho \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)$ . Definiamo:

\Phi ^{\varepsilon }(x)=\int _{a}^{b}{\rho _{\varepsilon }(x-\gamma (t)){\dot {\gamma }}(t)dt}\in C_{0}^{\infty }(\Omega ).

Detta

\Phi _{i}^{\varepsilon }

l'

i

-esima componente di

\Phi ^{\varepsilon }

e osservato che:

\partial _{i}\Phi _{i}^{\varepsilon }(x)=\partial _{i}\int _{a}^{b}{\rho _{\varepsilon }(x-\gamma (t)){\dot {\gamma _{i}}}dt}=\int _{a}^{b}{\partial _{i}\rho _{\varepsilon }(x-\gamma (t)){\dot {\gamma _{i}}}(t)dt}=-\int _{a}^{b}{{\frac {d}{dt}}\rho _{\varepsilon }(x-\gamma (t))dt},

si ha che:

\nabla \cdot \Phi ^{\varepsilon }=\sum _{i=1}^{3}{\partial _{i}\Phi _{i}^{\varepsilon }}=-\sum _{i=1}^{3}{\int _{a}^{b}{{\frac {d}{dt}}\rho _{\varepsilon }(x-\gamma (t))dt}}=0,

in quanto la curva

\gamma

e' chiusa. A questo punto, detta

u=(u_1,u_2,u_3)

, consideriamo la 1-forma

\omega =\sum _{i=1}^{3}{u_{i}dx_{i}}

; vedere che

u

ammette potenziale e' equivalente a mostrare che

\omega

e' esatta, che e' sua volta equivalente alla condizione:

\int _{\gamma }{\omega }=0

per ogni curva regolare

\gamma

con immagine contenuta in

\Omega

. Visto che

\Phi ^{\varepsilon }

ha divergenza nulla, per ipotesi

\int _{\Omega }{u\cdot \Phi ^{\varepsilon }dx}=0

; definiamo

u_{\varepsilon }

in modo che la sua componente

i

-esima sia

(u_{\varepsilon })_{i}=u_{i}*\rho _{\varepsilon }

, e definiamo

\omega _{\varepsilon }=\sum _{i=1}^{3}{(u_{\varepsilon })_{i}dx_{i}}

. Si ha:

{\begin{aligned}\int _{\gamma }{\omega _{\varepsilon }}&=\int _{\gamma }{\sum _{i=1}^{3}{\left(\int _{\Omega }{a_{i}(y)\rho _{\varepsilon }(x-y)dy}\right)}dx}=\int _{a}^{b}{\int _{\Omega }{a_{i}(y)\rho _{\varepsilon }(\gamma (t)-y)dy}{\dot {\gamma _{i}}}(t)dt}=\\&=\int _{\Omega }{\sum _{i=1}^{3}{a_{i}\Phi _{i}^{\varepsilon }(x)}dx}=\int _{\Omega }{u\cdot \Phi ^{\varepsilon }dx}=0,\end{aligned}}

{\begin{aligned}\int _{\gamma }{\omega _{\varepsilon }}&=\int _{\gamma }{\sum _{i=1}^{3}{\left(\int _{\Omega }{a_{i}(y)\rho _{\varepsilon }(x-y)dy}\right)}dx}=\int _{a}^{b}{\int _{\Omega }{a_{i}(y)\rho _{\varepsilon }(\gamma (t)-y)dy}{\dot {\gamma _{i}}}(t)dt}=\\&=\int _{\Omega }{\sum _{i=1}^{3}{a_{i}\Phi _{i}^{\varepsilon }(x)}dx}=\int _{\Omega }{u\cdot \Phi ^{\varepsilon }dx}=0,\end{aligned}}

quindi, passando al limite per

\varepsilon \rightarrow 0

, vista la convergenza

\omega _{\varepsilon }\rightarrow \omega

, si ha che

\int _{\gamma }{\omega }=0

.

Teorema (32 Decomposizone di Helmholtz-Weyl)

Sia $u:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ $u:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ tale che $u\rightarrow 0$ $u\rightarrow 0$ quando $\|u\|\rightarrow 0$ $\|u\|\rightarrow 0$ . Allora:

u=\nabla \varphi +\nabla \times A,

dove

\varphi

e' chiamato potenziale scalare e

A

potenziale vettore.

Dimostrazione

Posto:

U(x)=u*{\frac {1}{4\pi |x|}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{{\frac {u(y)}{|x-y|}}dy},

abbiamo visto che

\Delta U=u

. Ma allora:

u=\nabla (\nabla \cdot U)-\nabla \times (\nabla \times U),

quindi basta porre

\varphi =\nabla \cdot U

e

A=-\nabla \times U

.

Proviamo a generalizzare il risultato precedente; sia $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{3}$ $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{3}$ un aperto limitato regolare. Consideriamo gli insiemi:

U(\Omega )=\left\{v\in (C_{0}^{\infty }(\Omega ))^{3}\mid \nabla \cdot v=0\right\},

il suo completamento in

({\mathcal {L}}^{2}(\Omega ))^{3}

:

H={\overline {U(\Omega )}}^{{\mathcal {L}}^{2}}=\left\{v\in ({\mathcal {L}}^{2}(\Omega ))^{3}\ {\biggl |}\ \exists v_{n}\in U(\Omega ){\text{ tale che }}\int _{\Omega }{|v_{n}-v|^{2}dx}\rightarrow 0\right\}\subseteq ({\mathcal {L}}^{2}(\Omega ))^{3}

e infine:

G=\left\{w\in ({\mathcal {L}}^{2}(\Omega ))^{3}\mid w=\nabla p,\ p\in W_{loc}^{1,2}\right\}.

Si puo' dimostrare che vale la decomposizione ortogonale

({\mathcal {L}}^{2}(\Omega ))^{3}=H{\stackrel {\bot }{\oplus }}G

, ma e' molto difficile; ci limitiamo ad osservare che, se

v\in U(\Omega )

e

w\in G

, allora:

\int _{\Omega }{v\cdot wdx}=\int _{\Omega }{v\cdot \nabla pdx}=\int _{\partial \Omega }{v\cdot n_{i}pdS}-\int _{\Omega }{\nabla \cdot vpdx}=0,

in quanto

v\cdot n_{i}=0

perche'

v

e' a supporto compatto, mentre

\nabla \cdot v=0

per definizione. Passando al limite, non e' difficile vedere che

H \bot G

. L'analogia con il teorema precedente e' evidente; infatti la condizione

\nabla \cdot v=0

e' equivalente a

v=\nabla \times h

, mentre la condizione

\nabla \times w=0

e' equivalente a

w=\nabla p

.

Studiamo un caso particolare della decomposizione precedente; prendiamo $\Omega =\mathbb {T} ^{3}$ $\Omega =\mathbb {T} ^{3}$ e mostriamo che effettivamente vale la decomposizione $({\mathcal {L}}^{2}(\Omega ))^{3}=H+G$ $({\mathcal {L}}^{2}(\Omega ))^{3}=H+G$ . Denotiamo:

({\mathcal {L}}_{0}^{2}(\Omega ))^{3}=\left\{v\in ({\mathcal {L}}^{2}(\Omega ))^{3}\ {\biggl |}\ \int _{\Omega }{vdx}=0\right\}.

Scriviamo:

v^{j}(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} _{*}^{3}}{{\widehat {v_{k}}}^{j}e^{i\langle k,x\rangle }},\qquad \sum _{k\in \mathbb {Z} ^{3}}{|v_{k}|^{2}}<+\infty

per

j=1,2,3

, dove

\mathbb {Z} _{*}^{3}=\mathbb {Z} ^{3}\backslash \{0,0,0\}

; in questo modo la divergenza risulta essere:

\nabla \cdot v=\sum _{j=1}^{3}{\partial _{x_{j}}v^{j}(x)}=\sum _{j=1}^{3}{\sum _{k\in \mathbb {Z} _{*}^{3}}{ik_{j}{\widehat {v_{k}}}^{j}e^{i\langle k,x\rangle }}}=i\sum _{k\in \mathbb {Z} _{*}^{3}}{\langle k,{\widehat {v_{k}}}\rangle e^{i\langle k,x\rangle }}.

\nabla \cdot v=\sum _{j=1}^{3}{\partial _{x_{j}}v^{j}(x)}=\sum _{j=1}^{3}{\sum _{k\in \mathbb {Z} _{*}^{3}}{ik_{j}{\widehat {v_{k}}}^{j}e^{i\langle k,x\rangle }}}=i\sum _{k\in \mathbb {Z} _{*}^{3}}{\langle k,{\widehat {v_{k}}}\rangle e^{i\langle k,x\rangle }}.

Dunque e' evidente che

\nabla \cdot v=0\iff {\widehat {v_{k}}}\bot k

\forall k\in \mathbb {Z} _{*}^{3}

. Sia

f\in ({\mathcal {L}}_{0}^{2}(\Omega ))^{3}

; scriviamo

f=f-f_1+f_1

nel modo seguente:

f^{j}=\sum _{k\in \mathbb {Z} _{*}^{3}}{{\widehat {f_{k}}}^{j}e^{i\langle k,x\rangle }}=\sum _{k\in \mathbb {Z} _{*}^{3}}{\left(f_{k}^{j}-{\frac {\langle {\widehat {f_{k}}},k\rangle k^{j}}{\|k\|^{2}}}\right)e^{i\langle k,x\rangle }}+\sum _{k\in \mathbb {Z} _{*}^{3}}{{\frac {\langle {\widehat {f_{k}}},k\rangle k^{j}}{\|k\|^{2}}}e^{i\langle k,x\rangle }}.

f^{j}=\sum _{k\in \mathbb {Z} _{*}^{3}}{{\widehat {f_{k}}}^{j}e^{i\langle k,x\rangle }}=\sum _{k\in \mathbb {Z} _{*}^{3}}{\left(f_{k}^{j}-{\frac {\langle {\widehat {f_{k}}},k\rangle k^{j}}{\|k\|^{2}}}\right)e^{i\langle k,x\rangle }}+\sum _{k\in \mathbb {Z} _{*}^{3}}{{\frac {\langle {\widehat {f_{k}}},k\rangle k^{j}}{\|k\|^{2}}}e^{i\langle k,x\rangle }}.

Tale spezzamento individua una proiezione sul sottospazio di

({\mathcal {L}}_{0}^{2}(\Omega ))^{3}

delle funzioni a divergenza nulla, che puo' essere espressa nella forma:

{\widehat {f_{k}}}\rightarrow {\widehat {f_{k}}}\left(I-{\frac {k\otimes k}{\|k\|^{2}}}\right).

Si puo' mostrare che

\left\|{\widehat {f_{k}}}\left(I-{\frac {k\otimes k}{\|k\|^{2}}}\right)\right\|\leq \|f_{k}\|

, dunque se

f_{k}\in {\mathcal {L}}^{1}(\Omega )

, l'operatore di proiezione risulta limitato e continuo. Abbiamo percio' mostrato:

Teorema (33)

$f\in ({\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {T} ^{3}))^{3}$ $f\in ({\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {T} ^{3}))^{3}$ . Allora esiste $f_{1}\in ({\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {T} ^{3}))^{3}$ $f_{1}\in ({\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {T} ^{3}))^{3}$ tale che $\nabla \cdot (f-f_{1})=0$ $\nabla \cdot (f-f_1)=0$ e $f_{1}$ $f_1$ ammette potenziale, cioe' $f_{1}=\nabla p$ $f_1=\nabla p$ per un certo $p\in W_{loc}^{1,2}$ $p\in W_{loc}^{1,2}$ . Inoltre tale decomposizione e' ortogonale, cioe' $\langle f-f_{1},f_{1}\rangle =0$ $\langle f-f_1,f_1\rangle =0$ .