Richiamiamo le definizioni degli operatori differenziali e alcune loro proprieta'.
Sia
una funzione scalare e
funzioni vettoriali; si definiscono:



Valgono le proprieta':
;
;
;
.
Richiamiamo anche le prime definizioni di integrali su curve e di 1-forme differenziali.
Si definisce integrale di linea di I specie un integrale della forma:

dove
![{\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/62fee711c25673667d61b116d953ac525600a7b3)
e' una curva regolare e

a tratti e
![{\displaystyle f:\gamma ([a,b])\rightarrow \mathbb {R} }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/65be504ecbf2cb17560652c26ad96b182117388c)
e' una funzione scalare.
Dall'algebra lineare sappiamo che
e una base del duale e' formata dai funzionali
tali che
(l'
-esima coordinata di
); in questo contesto si denota
.
Una 1-formae' una scrittura del tipo:

dove

,

aperto regolare.
Se

e' differenziabile, si definisce
differenziale di

la 1-forma:

Una 1-forma

si dice
esatta se esiste una funzione differenziabile

tale che

.

si dice
primitiva di

.
Esempio
Ci interessiamo al problema di trovare
tale che:

dove

e' una funzione vettoriale assegnata. Condizione evidentemente necessaria e' che la matrice

sia simmetrica, in quanto

. Una 1-forma con tale proprieta' si dice
chiusa.
Oppure, se ci troviamo nell'insieme delle funzioni 1-dimensionali periodiche, l'equazione:

ha soluzione

. Da questi semplici esempi osserviamo che non sempre le forme sono esatte.
Un problema simile, anch'esso molto importante, e'

, in quanto avrebbe collegamenti immediati con l'equazione di Poisson; ad esempio, dato il problema:

puo' essere trasformato, ponendo

, nel problema:

Anche questo problema, pero', non e' sempre risolubile, poiche':

dunque ad esempio

deve essere a media nulla.
Presa
una 1-forma continua definita su un aperto
, definiamo integrale di II specie:

dove
![{\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \Omega }](//restbase.wikitolearn.org/it.wikitolearn.org/v1/media/math/render/svg/e669916914ff6edc9ee8ab64ef71336517cbcb52)
e' una curva regolare

a tratti.
Se
, si ha la scrittura equivalente:

dove

e' il versore tangente alla curva

.
Enunciamo qualche risultato di base sulle 1-forme senza dimostrazione:
Teorema (28)
1-forma esatta con primitiva
,
connesso. Allora:

dove

e' un arco che congiunge

e

, dunque in particolare l'integrale non dipende dal percorso.
Teorema (29)
Vale il viceversa del teorema precedente, cioe' se
non dipende da
, allora
e' esatta.
Dimostrazione (Idea della dimostrazione)
Basta mostrare che, fissato
,
e' una primitiva di
.
Corollario (59)
Se
per ogni cammino chiuso
, allora
e' esatta.
Teorema (30)
Se
e' semplicemente connesso, allora ogni forma chiusa in
e' esatta.
Proposizione (60)
Sia
un aperto semplicemente connesso, e sia
tale che

per ogni funzione test

. Allora

, cioe'

.
Dimostrazione
Sia
tale che
. Allora:

per ogni

funzione test, dunque

. Ma questo e' equivalente all'esistenza di un potenziale, cioe'

.
Teorema (31)
aperto limitato,
tale che 
. Allora
.
Dimostrazione
Consideriamo una curva
chiusa, regolare e
a tratti e denotiamo
. Preso
, consideriamo il mollificatore
con supporto contenuto in
e denotiamo
. Definiamo:

Detta

l'

-esima componente di

e osservato che:

si ha che:

in quanto la curva

e' chiusa. A questo punto, detta

, consideriamo la 1-forma

; vedere che

ammette potenziale e' equivalente a mostrare che

e' esatta, che e' sua volta equivalente alla condizione:

per ogni curva regolare

con immagine contenuta in

. Visto che

ha divergenza nulla, per ipotesi

; definiamo

in modo che la sua componente

-esima sia

, e definiamo

. Si ha:

quindi, passando al limite per

, vista la convergenza

, si ha che

.
Teorema (32 Decomposizone di Helmholtz-Weyl)
Sia
tale che
quando
. Allora:

dove

e' chiamato
potenziale scalare e
potenziale vettore.
Dimostrazione
Posto:

abbiamo visto che

. Ma allora:

quindi basta porre

e

.
Proviamo a generalizzare il risultato precedente; sia
un aperto limitato regolare. Consideriamo gli insiemi:

il suo completamento in

:

e infine:

Si puo' dimostrare che vale la decomposizione ortogonale

, ma e' molto difficile; ci limitiamo ad osservare che, se

e

, allora:

in quanto

perche'

e' a supporto compatto, mentre

per definizione. Passando al limite, non e' difficile vedere che

.
L'analogia con il teorema precedente e' evidente; infatti la condizione

e' equivalente a

, mentre la condizione

e' equivalente a

.
Studiamo un caso particolare della decomposizione precedente; prendiamo
e mostriamo che effettivamente vale la decomposizione
. Denotiamo:

Scriviamo:

per

, dove

; in questo modo la divergenza risulta essere:

Dunque e' evidente che


.
Sia

; scriviamo

nel modo seguente:

Tale spezzamento individua una proiezione sul sottospazio di

delle funzioni a divergenza nulla, che puo' essere espressa nella forma:

Si puo' mostrare che

, dunque se

, l'operatore di proiezione risulta limitato e continuo. Abbiamo percio' mostrato:
Teorema (33)
. Allora esiste
tale che
e
ammette potenziale, cioe'
per un certo
. Inoltre tale decomposizione e' ortogonale, cioe'
.