Forme differenziali e decomposizione di Helmholtz-Weyl

Richiamiamo le definizioni degli operatori differenziali e alcune loro proprieta'. Sia una funzione scalare e funzioni vettoriali; si definiscono:

  • Rotore:

  • Divergenza:

  • Laplaciano:

Valgono le proprieta':

  • ;
  • ;
  • ;
  • .


Richiamiamo anche le prime definizioni di integrali su curve e di 1-forme differenziali. Si definisce integrale di linea di I specie un integrale della forma:

dove e' una curva regolare e a tratti e e' una funzione scalare.


Dall'algebra lineare sappiamo che e una base del duale e' formata dai funzionali tali che (l'-esima coordinata di ); in questo contesto si denota . Una 1-formae' una scrittura del tipo:

dove , aperto regolare. Se e' differenziabile, si definisce differenziale di la 1-forma:
Una 1-forma si dice esatta se esiste una funzione differenziabile tale che . si dice primitiva di .


Esempio

Ci interessiamo al problema di trovare tale che:

dove e' una funzione vettoriale assegnata. Condizione evidentemente necessaria e' che la matrice sia simmetrica, in quanto . Una 1-forma con tale proprieta' si dice chiusa. Oppure, se ci troviamo nell'insieme delle funzioni 1-dimensionali periodiche, l'equazione:
ha soluzione . Da questi semplici esempi osserviamo che non sempre le forme sono esatte. Un problema simile, anch'esso molto importante, e', in quanto avrebbe collegamenti immediati con l'equazione di Poisson; ad esempio, dato il problema:
puo' essere trasformato, ponendo , nel problema:
Anche questo problema, pero', non e' sempre risolubile, poiche':
dunque ad esempio deve essere a media nulla.

 


Presa una 1-forma continua definita su un aperto , definiamo integrale di II specie:

dove e' una curva regolare a tratti.


Osservazione

Se , si ha la scrittura equivalente:

dove e' il versore tangente alla curva .

 


Enunciamo qualche risultato di base sulle 1-forme senza dimostrazione:


Teorema (28)

1-forma esatta con primitiva , connesso. Allora:

dove e' un arco che congiunge e , dunque in particolare l'integrale non dipende dal percorso.

 



Teorema (29)

Vale il viceversa del teorema precedente, cioe' se non dipende da , allora e' esatta.

 


Dimostrazione (Idea della dimostrazione)

Basta mostrare che, fissato , e' una primitiva di .

 



Corollario (59)

Se per ogni cammino chiuso , allora e' esatta.

 



Teorema (30)

Se e' semplicemente connesso, allora ogni forma chiusa in e' esatta.

 



Proposizione (60)

Sia un aperto semplicemente connesso, e sia tale che

per ogni funzione test . Allora , cioe'.

 


Dimostrazione

Sia tale che . Allora:

per ogni funzione test, dunque . Ma questo e' equivalente all'esistenza di un potenziale, cioe'.

 



Teorema (31)

aperto limitato, tale che . Allora .

 


Dimostrazione

Consideriamo una curva chiusa, regolare e a tratti e denotiamo . Preso , consideriamo il mollificatore con supporto contenuto in e denotiamo . Definiamo:

Detta l'-esima componente di e osservato che:
si ha che:
in quanto la curva e' chiusa. A questo punto, detta , consideriamo la 1-forma ; vedere che ammette potenziale e' equivalente a mostrare che e' esatta, che e' sua volta equivalente alla condizione:
per ogni curva regolare con immagine contenuta in . Visto che ha divergenza nulla, per ipotesi ; definiamo in modo che la sua componente -esima sia , e definiamo . Si ha:
quindi, passando al limite per , vista la convergenza , si ha che .

 



Teorema (32 Decomposizone di Helmholtz-Weyl)

Sia tale che quando . Allora:

dove e' chiamato potenziale scalare e potenziale vettore.

 


Dimostrazione

Posto:

abbiamo visto che . Ma allora:
quindi basta porre e .

 


Proviamo a generalizzare il risultato precedente; sia un aperto limitato regolare. Consideriamo gli insiemi:

il suo completamento in :
e infine:
Si puo' dimostrare che vale la decomposizione ortogonale , ma e' molto difficile; ci limitiamo ad osservare che, se e , allora:
in quanto perche'e' a supporto compatto, mentre per definizione. Passando al limite, non e' difficile vedere che . L'analogia con il teorema precedente e' evidente; infatti la condizione e' equivalente a , mentre la condizione e' equivalente a .


Studiamo un caso particolare della decomposizione precedente; prendiamo e mostriamo che effettivamente vale la decomposizione . Denotiamo:

Scriviamo:
per , dove ; in questo modo la divergenza risulta essere:
Dunque e' evidente che . Sia ; scriviamo nel modo seguente:
Tale spezzamento individua una proiezione sul sottospazio di delle funzioni a divergenza nulla, che puo' essere espressa nella forma:
Si puo' mostrare che , dunque se , l'operatore di proiezione risulta limitato e continuo. Abbiamo percio' mostrato:


Teorema (33)

. Allora esiste tale che e ammette potenziale, cioe' per un certo . Inoltre tale decomposizione e' ortogonale, cioe'.

 
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