Spazi di Hilbert

Definizione

spazio vettoriale su (risp. su ) si dice spazio euclideo se esiste un prodotto interno simmetrico (risp. hermitiano) che induce una norma .

 
Esempio
  • , con
  • , con ;
  • , con
 
Proposizione (Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz)

<dmath>\forall x,y\in X, |\langle x,y\rangle | \le \| x\| \| y\| </dmath>

 
Dimostrazione

Se é uno spazio vettoriale complesso, si usa il trucco solito applicato a , con .

 


Proposizione (Identità del parallelogramma)

,

 
Osservazione

é euclideo , infatti, se i vettori della base canonica non soddisfano l'identitá del parallelogramma.

 
Definizione

Uno spazio euclideo si dice spazio di Hilbert se è completo.

 
Proposizione

é uno spazio di Hilbert.

 
Dimostrazione

Sia una successione di Cauchy, cioé tale che quando (cioé ). Ora, fissato , la successione é di Cauchy, quindi ha limite . , si ha , quindi prendendo il limite per otteniamo: <dmath> \lim _{m\rightarrow \infty }{\sum _{|k|\le M}{|c_ k^ n-c_ k^ m|^2}}=\sum _{|k|\le M}{|c_ k^ n-c_ k|^2}\le \varepsilon ^2 </dmath> , dunque: <dmath> \limsup _{M\rightarrow \infty }{\sum _{|k|\le M}{|c_ k^ n-c_ k|^2}}=\sum _{k\in \mathbb {Z}}{|c_ k^ n-c_ k|^2}\le \varepsilon ^2. </dmath> Ci resta da vedere che ; ma per quanto visto: <dmath> \sum _{|k|\le M}{|c_ k|^2}\le \underbrace{\sum _{|k|\le M}{|c_ k-c_ k^ n|^2}}_{\le \varepsilon ^2}+\underbrace{\sum _{|k|\le M}{|c_ k^ n|^2}}_{<C}<C+\varepsilon ^2, </dmath> da cui la tesi.

 


Definizione

Definiamo cubo di Hilbert .

 
Proposizione

Data una successione , esiste una sottosuccessione che converge a un .

 
Dimostrazione

Si procede con un argomento diagonale: visto che , allora per Bolzano-Weierstrass; ma , dunque e cosí via. Sia la successione tale che , dove é la successione estratta al passaggio -esimo; allora . Se vediamo che , avremmo la tesi. <dmath> \sum _{h=1}^\infty {|c_ h^{n^*(k)}-c_ h|^2} = \underbrace{\sum _{h=1}^ M{|c_ h^{n^*(k)}-c_ h|^2}}_{<\varepsilon \text { per } k \text { grande}} + \underbrace{\sum _{h=M+1}^\infty {|c_ h^{n^*(k)}-c_ h|^2}}_{\le \sum _{M+1}^\infty {\frac{4}{h^2}}<\varepsilon }, </dmath> cioé la tesi.

 


Allo stesso modo si dimostra:

Teorema (di compattezza relativa)

Sia tale che , con . Allora che converge a un elemento .

 
Definizione

Una successione di vettori indipendenti di uno spazio di Hilbert si dice base hilbertiana se e tale che: <dmath> \left\| \sum _{n=1}^ N{c_ ne_ n}-x \right\| <\varepsilon . </dmath>

 
Osservazione

é una base hilbertiana, detta base canonica.

 

Nel seguito sia un generico spazio euclideo.

Definizione

si dice sistema completo per se la chiusura delle combinazioni lineari di elementi di é tutto .

 
Esempio

Se , l'insieme é un sistema completo per il teorema di approssimazione di Weierstrass.

 
Definizione

sistema completo, . Allora si dice base ortogonale. Se vale anche che , allora il sistema si dice base ortonormale.

 
Definizione

si dice separabile se esiste un sottoinsieme denso al piú numerabile.

 
Esempio

é separabile, in quanto il sottoinsieme costituito dalle successioni finite di razionali é denso e numerabile.

 
Teorema

separabile, ortonormale. Allora é al piú numerabile.

 
Dimostrazione

Si ha che , dunque . Sia il sottoinsieme denso numerabile; in ogni palla c'é un elemento per densitá, dunque le palle distinte sono in numero al piú numerabile. Segue che anche gli sono al piú numerabili.

 
Teorema (Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt)

linearmente indipendenti. Allora ortonormale con .

 
Corollario

separabile una base ortonormale numerabile.

 

Nel seguito sará sempre separabile.

Teorema

ortonormale (non necessariamente base), . Allora: #, dove sono i coefficienti di Fourier.

  1. .
 
Dimostrazione

Si calcola: <dmath> \begin{align} \left\| f-\sum _{j=1}^ n{\alpha _ j \varphi _ j} \right\| ^2 & =\langle f-\sum _{j=1}^ n{\alpha _ j \varphi _ j},f-\sum _{j=1}^ n{\alpha _ j \varphi _ j}\rangle =\langle f,f\rangle - 2\sum _{j=1}^ n{\alpha _ j \langle f,\varphi _ j \rangle }+\sum _{j,k=1}^ n{\alpha _ j\alpha _ k\langle \varphi _ j,\varphi _ k \rangle }=\\ & =\| f\| ^2-2\sum _{j=1}^ n{\alpha _ j c_ j}+\sum _{j=1}^ n{\alpha _ j^2}=\| f\| ^2 -\sum _{j=1}^ n{c_ j^2}+\sum _{j=1}^ n{c_ j^2} -2\sum _{j=1}^ n{\alpha _ j c_ j}+\sum _{j=1}^ n{\alpha _ j^2}=\\ & =\| f\| ^2-\sum _{j=1}^ n{c_ j^2}+\sum _{j=1}^ n{(c_ j-\alpha _ j)^2} \end{align}</dmath> ed evidentemente il minimo si raggiunge con e il minimo é quello voluto.

 


Osservazione

Dunque, passando il limite, si ottiene: <dmath> \lim _{n\rightarrow \infty }{\sum _{j=1}^ n{c_ j^2}}\le \| f\| ^2, \quad \text {ovvero} \quad \sum _{j=1}^\infty {c_ j^2}\le \| f\| ^2, </dmath> che non é altro che la disuguaglianza di Bessel. Ci chiediamo se vale anche l'uguaglianza, cioé l'identità di Parseval.

 
Definizione

Un sistema ortonormale si dice chiuso se vale l'identitá di Parseval, cioé: <dmath> \sum _{j=1}^\infty {c_ j^2}= \| f\| ^2. </dmath>

 
Teorema

é chiuso ogni puó essere scritto tramite la sua serie di Fourier, cioé: <dmath> f=\sum _{j=1}^\infty {c_ j \varphi _ j}. </dmath>

 
Dimostrazione

Deriva dalla relazione , dove é la serie di Fourier troncata.

 


Osservazione

In uno spazio euclideo, scrivere deve essere inteso come: <dmath> \left\| f-\sum _{j=1}^ n{f_ j} \right\| _ X \rightarrow 0 </dmath> quando .

 
Esempio

Se vediamo che é chiuso, allora avremmo che: <dmath> \frac{1}{2\pi }\int _{-\pi }^\pi {|f|^2}=\sum _{k\in \mathbb {Z}}{c_ k^2}, </dmath> o equivalentemente: <dmath> \frac{1}{2\pi }\int _{-\pi }^\pi {|f|^2}=\frac{a_0^2}{4}+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^\infty {(a_ k^2+b_ k^2)}. </dmath>

 
Osservazione

Supponiamo di aver dimostrato che il sistema é chiuso; sia periodicizzata. Con un semplice conto otteniamo che la serie di Fourier di é: <dmath> x=\sum _{n=1}^\infty {\frac{2}{n}(-1)^{n+1}\sin (nx)}, </dmath> quindi applicando la chiusura del sistema otteniamo: <dmath> \frac{1}{2}\sum _{n=1}^\infty {\frac{4}{n^2}}=\frac{1}{2\pi }\int _{-\pi }^\pi {x^2 dx}, </dmath> cioé: <dmath> \sum _{n=1}^\infty {\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi ^2}{6}. </dmath>

 
Osservazione

Tramite la formula di polarizzazione, si puó riscrivere l'identitá di Parseval: <dmath> \langle f,g\rangle = \sum _{k=1}^\infty {\langle f,\varphi _ k\rangle \langle g,\varphi _ k \rangle }. </dmath>

 
Teorema

é di Hilbert ogni sistema ortonormale é chiuso.

 

Consideriamo il sottospazio proprio di :

<dmath> h^1=\left\{ \{ c_ k\} \in \ell ^2 \ \biggl | \ \sum _{k=1}^\infty {k^2c_ k^2}<+\infty \right\} </dmath>

con la norma:

<dmath> \| c\| _{h^1}=\left( \sum _{k=1}^\infty {(c_ k^2+k^2c_ k^2)} \right)^{\frac{1}{2}}. </dmath>

La palla é relativamente compatta in , in quanto se , allora e dunque per una certa costante . Sia ora e denotiamo con la sua serie di Fourier troncata:

<dmath> f_ n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{n}{(a_ k \cos (kx)+b_ k\sin (kx))}, </dmath>

con . Sappiamo che in norma per ; scriviamo inoltre:

<dmath> f_ n'(x)=\sum _{k=1}^{n}{(-ka_ k \sin (kx)+kb_ k\cos (kx))}. </dmath>

Ora, se , cioé , allora tale che in norma quando ; chiamiamo tale derivata in senso debole di e notiamo che se , non é altro che . Definiamo anche . In generale:

Definizione

Definiamo: <dmath> h^ n=\left\{ \{ c_ k\} \in \ell ^2 \ \biggl | \ \sum _{k=1}^\infty {k^{2n}c_ k^2}<+\infty \right\} </dmath> con la norma: <dmath> \| c\| _{h^ n}=\left( \sum _{k=1}^\infty {(c_ k^2+k^2c_ k^2+\ldots + k^{2n}c_ k^2)} \right)^{\frac{1}{2}}. </dmath> Inoltre si definisce: <dmath> \mathcal{H}^ n(-\pi ,\pi )=\{ f\in \mathcal{L}^2(-\pi ,\pi ) \mid \{ c_ k\} \in h^ n\} . </dmath>

 

Quindi, se ad esempio , si ha che esistono tali che , , in norma quando . Deduciamo quindi che é relativamente compatto in .

Osservazione

In generale, si puó definire lo spazio: <dmath> \mathcal{H}^ s(-\pi ,\pi )=\left\{ f\in \mathcal{L}^2(-\pi ,\pi ) \ \biggl | \ \sum _{k=1}^\infty {k^{2s}c_ k^2}<+\infty \right\} </dmath> per ogni e, presa con serie di Fourier , associargli la sua derivata debole -esima definita come: <dmath> \frac{d^ s}{dx^ s}f(x)=\sum _{k=1}^\infty {k^ sc_ k e^{ikx}}, </dmath> che risulta convergente in per definizione di .

 

Richiamiamo adesso il teorema di rappresentazione di Riesz: in , esso assicura che, data , esiste un unico vettore tale che . Vediamo che in (e piú precisamente in ) vale la stessa cosa.

Proposizione

lineare e continua, . Allora esiste , con , tale che (e dunque se ).

 
Dimostrazione

Se , allora ; denotando e , si ha: <dmath> F(x^ N)=\sum _{i=1}^ N{x_ i y_ i}, </dmath> quindi ci rimane solo da passare al limite per (cioé vedere che , poiché per Holder in questo caso si avrebbe ). Poniamo: <dmath> z_ i=\begin{cases} 0 & \text {se } y_ i=0\\ |y_ i|^{q-2} y_ i & \text {se } y_ i\ne 0 \end{cases} </dmath> osserviamo anche che e . Visto che é continua, allora ; inoltre si ha: <dmath> \left| F\left( \sum _{i=1}^ N{z_ i e_ i} \right) \right|\le \| F\| \| z^ N\| , </dmath> dove . Per linearitá: <dmath> \left| F\left( \sum _{i=1}^ N{z_ i e_ i} \right) \right| = \left| \sum _{i=1}^ N{z_ i y_ i} \right|=\sum _{i=1}^ N{|y_ i|^ q}=\sum _{i=1}^ N{|z_ i|^ p}=\| z^ N\| _{\ell ^ p}^ p \le \| F\| \| z^ N\| _{\ell ^ p}, </dmath> quindi e passando al limite . Visto che la disuguaglianza é ovvia (in quanto ), si conclude che , da cui la tesi.

 


In maniera simile, si puó mostrare:

Proposizione

, . Allora esiste , con , tale che .

 
Proposizione

spazio di Hilbert, limitato e continuo non nullo. Allora .

 
Dimostrazione

Sia tale che . Se , allora ; sia . Dato , si ha , con , e tale decomposizione é unica, in quanto se con , e dunque . Concludiamo che , cioé la tesi.

 


Teorema

spazio di Hilbert, convesso chiuso. Allora tale che .

 
Dimostrazione

, dunque tale che . Se vedo che é di Cauchy, avrebbe limite per completezza di . Per l'identitá del parallelogramma, se : <dmath> \left\| \frac{(x-y_ n)+(x-y_ m)}{2}\right\| ^2 + \left\| \frac{(x-y_ n)-(x-y_ m)}{2}\right\| ^2 = \frac{1}{2}\left( \| x-y_ n\| ^2+\| x-y_ m\| ^2 \right), </dmath> cioé: <dmath> \biggl \| x-\underbrace{\frac{y_ n+y_ m}{2}}_{\in K} \biggr \| ^2+\left\| \frac{y_ n-y_ m}{2} \right\| ^2=\frac{1}{2}(d_ n^2+d_ m^2), </dmath> ma per definizione di estremo inferiore, dunque: <dmath> \left\| \frac{y_ n-y_ m}{2} \right\| \le \frac{1}{2}(d_ n^2+d_ m^2)-d^2<\varepsilon , </dmath> in quanto e . Quindi, a meno di estrarre una sottosuccessione, , poiché é chiuso. Se per assurdo esistono due punti che realizzano il minimo, siano essi e , sempre per l'identitá del parallelogramma si ha: <dmath> \biggl \| x-\underbrace{\frac{P_1(x)+P_2(x)}{2}}_{\in K} \biggr \| ^2+\left\| \frac{P_1(x)-P_2(x)}{2} \right\| ^2=\frac{1}{2}\left( \| x-P_1(x)\| ^2+\| x-P_2(x)\| ^2 \right) =d^2 , </dmath> dunque , cioé .

 


Corollario

sottospazio chiuso. tale che

 
Definizione

La mappa tale che é il punto definito nel teorema si chiama proiezione.

 
Osservazione

Se é derivabile e in c'é un minimo, allora . Dunque, se é , e , per , allora .

 
Proposizione

, convesso chiuso, .

 
Dimostrazione

Se , per l'osservazione precedente . Ma: <dmath> \phi (t)=\| x-P(x)+t(P(x)-w)\| ^2=\| x-P(x)\| ^2+2t\langle x-P(x),P(x)-w\rangle +t^2\| P(x)-w\| ^2, </dmath> dunque .

 


Osservazione

Si puó vedere che in realtá vale anche il viceversa, cioé se il punto ha quella proprietá, allora é il punto di che minimizza la distanza con .

 
Osservazione

Se é un sottospazio chiuso, sostituendo nella disuguaglianza precedente e , si ottiene che . Ma allora, visto che la stessa disuguaglianza vale per e per , segue che per ogni .

 
Corollario

Se é di Hilbert e é un sottospazio chiuso, allora .

 
Dimostrazione

Dato , se é la proiezione su allora ; basta notare che e .

 


Proposizione

La proiezione su un sottospazio chiuso é lineare e .

 
Dimostrazione

Per vedere che é lineare, osserviamo: <dmath> \begin{cases} \langle \alpha x+\beta y-P(\alpha x+\beta y),w\rangle =0 & \forall w\in M\\ \langle \alpha x+\beta y-\alpha P(x)-\beta P(y),w\rangle =0 & \forall w\in M\\ \end{cases} </dmath> dunque , ma , quindi , cioé . Inoltre , dunque ; ma , quindi .

 


Quindi, definendo , si ha:

<dmath> x=P(x)+Q(x), \quad \langle P(x),Q(x)\rangle =0, \quad \| x\| ^2=\| P(x)\| ^2+\| Q(x)\| ^2, </dmath>

.

Teorema

é uno spazio di Hilbert.

 
Dimostrazione

Sia una successione di Cauchy; a meno di estrarre una sottosuccessione, posso supporre . Sia ; sicuramente quasi ovunque . Visto che: <dmath> \| g_ n\| _{\mathcal{L}^2} \le \sum _{k=1}^ n{\| f_{k+1}-f_ k\| } \le \sum _{k=1}^ n{\frac{1}{2^ k}}\le 1, </dmath> allora per Beppo-Levi in norma quadra, . Vediamo che la successione é di Cauchy nella norma ; se : <dmath> |f_ m(x)-f_ n(x)| \le \sum _{k=n}^{m-1}{|f_{k+1}-f_ k|} < \varepsilon , </dmath> in quanto é la coda di una serie convergente. Ma allora e , quindi . Visto che , per il teorema di convergenza dominata anche in .

 


Teorema (Riesz-Fisher)

continuo e limitato, spazio di Hilbert. Allora tale che .

 
Dimostrazione

Se l'enunciato é banale; quindi supponiamo . Sia ; é un sottospazio chiuso di codimensione , e sia la proiezione su . Visto che e , con , allora dato si puó scomporre , dove . e , dunque dá l'esistenza. Se poi esistessero due elementi che rappresentano , allora , dunque in particolare .

 


Corollario

Se in , allora tale che quasi ovunque.

 

Discende dal teorema di Riesz-Fisher:

Teorema (di isomorfismo)

spazi di Hilbert. Allora .

 
Dimostrazione

Per il teorema di Riesz-Fisher, la funzione che manda un elemento di (o di ) nella successione dei propri coefficienti di Fourier é un isomorfismo.

 


Quindi possiamo considerare come lo spazio di Hilbert universale.

 PrecedenteSuccessivo