La trasformata di Fourier

Proposizione 39

, , ortonormale base Hilbertiana di , ortonormale base Hilbertiana di . Allora, posto , e' base ortonormale di .

 
Dimostrazione

Sicuramente sono ortonormali, perche':

E' anche base perche', presa , se , allora q.o.; infatti, denotata , si ha che che sta in :
e:
dunque per completezza delle q.o., quindi per completezza delle si conclude q.o.

 


Osservazione

Si ha dunque che e' base Hilbertiana e ortonormale di .

 


Corollario 40

base ortonormale di , base ortonormale di . Allora e' base ortonormale di .

 


Sia periodica su ; per la formula di addizione del coseno, in analogia al caso e' facile vedere che:

Sia inoltre ; prendendo il limite per :
in particolare, se :
dunque al limite:
Si giunge finalmente alla formula:
Ma questa formula in quali casi ha senso, cioe' quando effettivamente l'integrale vale ?


Lemma 41

Per ogni , vale:

 
Dimostrazione

Osserviamo che, a meno di un cambio di variabili, si puo' supporre . Dalla teoria del nucleo di Dirichlet, sappiamo che:

Poniamo:
e' continua in , quindi per Riemann-Lebesgue:
da cui:
cioe' la tesi.

 


Teorema 19

Se , la scrittura formale precedente e' esatta, cioe':

 
Dimostrazione

Poniamo:

Se :
quando .

 


Per disparita' del seno, si puo' scrivere:


Definizione 20

Se , definisco trasformata di Fourier di :

 


Proposizione (!numero=42)

Se , .

 
Dimostrazione

Basta osservare che .

 


Vedremo in seguito come ci aiuta la trasformata di Fourier a risolvere molte equazioni differenziali; per ora introduciamo qualche concetto base.


Esempio

Dato il problema di Cauchy -dimensionale:

osserviamo subito che e che:
Procedendo ricorsivamente e usando la scrittura:
si trova la soluzione in un intorno di se il raggio di convergenza e' positivo.

 


In piu' dimensioni, il problema precedente diventa molto piu' complesso: l'equazione differenziale:

in date le condizioni iniziali , con , , e' in alcuni casi addirittura mal posto. Un problema si dice ben posto secondo Hadamard se la sua soluzione esiste, e' unica e dipende in modo continuo dai dati. Un importante teorema, conosciuto come teorema di Cauchy-Kowalewski, asserisce che il problema precedente e' ben posto secondo Hadamard intorno a se la funzione e le condizioni iniziali sono analitiche; ad esempio, un possibile modo per risolvere il problema:
potrebbe essere il seguente: , mentre:
dunque iterando e sfruttando la scrittura:
avremmo trovato una soluzione del problema. Vediamo pero' che in alcuni casi il calcolo precedente e' solo formale.


Esempio

Supponiamo di voler risolvere il problema:

Separando le variabili, dall'equazione si ottiene il sistema:
dunque e . Imponendo le condizioni iniziali, e' facile vedere che la soluzione risulta essere:
Visto che , necessariamente anche la soluzione dovra' andare a quando . Ma se e , quando . Questo mostra che in generale il problema precedente e' mal posto secondo Hadamard; un modo per renderlo ben posto potrebbe essere quello di imporre quando , cioe' mettere la condizione al contorno in tutto il bordo di .

 


Riprendiamo la trattazione della trasformata di Fourier.


Esempio

Calcoliamo la trasformata di Fourier di :

Ma visto che:
si deduce che , dunque , da cui e cioe'. Puo' essere utile l'uguaglianza:

 


Osservazione

Se , la trasformata di Fourier e' continua e va a all'infinito (si denota ). Infatti sicuramente e' continua:

inoltre e' facile vedere che la trasformata va a all'infinito nel caso :
quando ; se in generale , la approssimo con funzioni semplici e grazie a Beppo-Levi si conclude .

 


Corollario 43

Se , allora e' uniformemente continua.

 
Dimostrazione

Per Heine-Cantor ogni funzione continua con limiti finiti e' uniformemente continua.

 


Definiamo adesso la trasformata inversa di Fourier; e' in un certo senso naturale la definizione:

Ci poniamo il problema di quando ha senso questa scrittura, cioe' quando l'integrale esiste e quando effettivamente coincide con . L'integrale ha sempre senso, perche' se , allora ; come primo risultato abbiamo:


Proposizione 44

Se , allora .

 
Dimostrazione

Si ha:

, e sfruttando il fatto che , dove e' la delta di Dirac, abbiamo:

 


In analogia con le serie di Fourier, vorremmo estendere la trasformata inversa anche alle funzioni ; abbiamo prima bisogno di un lemma.


Lemma 45

, quando . Allora:

 
Dimostrazione

Si ha:

ma converge, quindi , tale che , , quindi:
cioe' la tesi.

 


Proposizione 46

. Allora , dove e' l'operatore trasformata di Fourier e antitrasformata di Fourier.

 
Dimostrazione

E' facile, sfruttando il lemma precedente, vedere che:

dove:
Osservato che e' una successione di Dirac, segue subito la tesi.

 


Teorema 21

Se , allora quasi ovunque. Se e' continua in , allora .

 
Dimostrazione

Poiche':

dunque passando grazie al lemma a (che converge alla stessa cosa) si ha la tesi.

 


Corollario 47

Se e , allora quasi ovunque.

 


L'operatore trasformata di Fourier puo' essere esteso anche a funzioni a piu' variabili nel modo naturale:


Esempio

Calcoliamo la trasformata di Fourier di . Osserviamo innanzitutto che:

Denotiamo . Si ha:
dunque . , percio':

 


Le seguenti proprieta' sono immediate:


Teorema 22

Sia . Allora:

  1. Se in , allora in .
  1. .
  1. , , .
  1. .
  1. Se , allora .
  1. .
  1. Se , allora .
  1. Se anche , allora .
 


A volte puo' essere utile considerare lo spazio di Schwartz:


Teorema 23

Se e , allora .

 
Dimostrazione

Vediamo subito che per , in quanto ha limite per e tale limite deve essere perche'; ma allora integrando per parti:

 


Proposizione 48

. Allora .

 
Dimostrazione

Direttamente:

da cui la tesi cambiando variabili.

 


Proposizione 49

. Allora:

 


Proposizione 50

Se , allora:

 
Dimostrazione

Grazie al cambio di variabili e sfruttando che si ha:

 


Corollario 51

radiale, cioe'. Allora anche e' radiale.

 
Dimostrazione

Se , allora per una certa . Percio':

 


Osservazione

Sia e . Allora:

dunque se , e .

 


Esempio

Si ha:

Quindi, per risolvere il problema di Poisson in , per quanto visto potevamo ragionare:
Calcolato che:
(ma non e' banale, perche'), concludiamo (come gia' visto) che .

 


Il nostro obiettivo adesso e' generalizzare l'operatore trasformata di Fourier a tutte le funzioni in , sfruttando le proprieta' di in quanto spazio di Hilbert.


Lemma 52

. Allora , dove:

 
Dimostrazione

Visto che , usando Fubini-Tonelli:

 


A questo punto l'idea e' approssimare tramite una successione di funzioni abbastanza regolari tali che in e definire come il limite delle . Per aumentare la regolarita', come al solito, si usa la convoluzione con le gaussiane.


Sia e per ; poniamo inoltre . Se e' ben definita , allora , e sappiamo che .


Lemma 53

. Allora quasi ovunque.

 
Dimostrazione

Usando ancora Fubini-Tonelli:

 


Lemma 54

, . Allora in quando .

 
Dimostrazione

Osserviamo innanzitutto che, cambiando variabili:

Inoltre:
A questo punto, usando la disuguaglianza di Holder:
per abbastanza piccolo.

 


Osservazione

La precedente dimostrazione funziona analogamente per ogni funzione , e , ponendo come sopra .

 


Teorema 24 (di Plancherel)

Se , allora .

 
Dimostrazione

Ponendo , applichiamo il primo lemma e otteniamo:

quasi ovunque, dunque, visto che il prodotto scalare e' continuo, se si ha:
Ma visto che la funzione cresce se , allora per Beppo-Levi:

 


A questo punto siamo in grado di estendere la trasformata di Fourier a funzioni solo in ; sia dunque . Detta , per il teorema di Plancherel si ha che ; ma in , quindi la successione e' di Cauchy in :

quando . Ma allora esiste tale che:
si definisce percio'. E' immediato constatare che se la definizione e' la stessa data a suo tempo.


Osservazione

Rimane vera la proprieta' che, se , . Infatti, se , e dunque , quindi passando al limite si ha la tesi.

 


Esempio

La trasformata di Fourier di non ha senso per quello che abbiamo visto; un modo per ragionare con essa puo' essere passare alle distribuzioni e provare a fare il prodotto scalare di con una funzione test :

dunque , che non e' altro che una valutazione di in un punto (a meno di una costante), quindi di Dirac. In effetti, facendo il limite per di (che equivale a fare la trasformata di Fourier della delta di Dirac), si ottiene una costante.

 


Grazie a questa teoria svolta sulla trasformata di Fourier, riusciamo a risolvere completamente l'equazione del calore in modo rapido.


Consideriamo l'equazione del calore:

Facciamo la trasformata di Fourier della funzione rispetto alla :
Supponendo la abbastanza regolare (ad esempio ) si puo' scrivere:
e:
quindi si puo' riscrivere l'equazione del calore sotto forma di problema con la trasformata:
Ma fissando come parametro, il problema precedente e' di immediata risoluzione:
A questo punto vogliamo tornare indietro per avere informazioni sulla stessa; applicando l'operatore trasformata inversa , abbiamo:
Calcolando la seconda trasformata inversa:
da cui:
Avremmo bisogno di vedere che questa e' effettivamente la soluzione, cioe', chiesta , che per ogni .


Proposizione 55

Se , allora la funzione precedente e' effettivamente la soluzione.

 
Dimostrazione

Vediamo innanzitutto la regolarita' di . Preso piccolo a piacere e , abbiamo che e:

Inoltre, se :
con (si puo' vedere per induzione) e:
con , dunque si possono portare tutte le derivate successive di dentro all'integrale e percio', cioe'. Vediamo adesso che la soluzione si incolla bene al bordo; sia e, osservando che , con un cambio di variabili abbiamo:
grazie al fatto che .

 


Osservazione

Detta , abbiamo visto che risolve l'equazione del calore se ; da una nota proprieta' della convoluzione, abbiamo che:

Se chiediamo anche , con lo stesso ragionamento, se :
dunque decade a per . Se abbiamo ancora l'integrabilita' di , riusciamo anche a stimare la norma di : e:
dunque otteniamo la stima:
Infine, supponiamo di avere , e vediamo se possiamo dire qualcosa sul decadimento di per . Posto , si aveva ; per il teorema di Plancherel , dunque:
percio', preso , esiste tale che il primo addendo sia , e preso abbastanza grande, si ha che anche il secondo addendo e'. Per il teorema di Plancherel applicato a , si ricava:

 


Avendo appena trovato una soluzione dell'equazione del calore, e' naturale chiedersi se essa sia l'unica soluzione o meno; stimando l'energia abbiamo, da :

cioe' e dunque:
che pero' non e' finito in generale, quindi questa stima non ci dice niente su un'eventuale unicita' della soluzione.


Esempio

Consideriamo il problema:

La funzione analitica:
risolve l'equazione del calore e soddisfa la condizione iniziale, ma ha raggio di convergenza nullo.

 


Esibiamo ora un esempio in cui la soluzione di un problema con l'equazione del calore non e' unica; osserviamo preliminarmente che una soluzione del problema:

e' ovviamente la funzione identicamente nulla. Consideriamo la funzione per prolungata a con la funzione identicamente nulla; evidentemente l'incollamento rimane . Prendiamo la serie:
Se vediamo che tale serie ha un raggio di convergenza strettamente positivo, si avrebbe che:
e sarebbe per (e dunque sarebbe un'altra soluzione del problema precedente).


Lemma 56

, .

 
Dimostrazione

Basta osservare che la funzione ha come unico punto critico , che e' di massimo.

 


Lemma 57

Si ha:

dove , con e per .

 
Dimostrazione

Le vediamo per induzione. Il caso e' banale, ma il passo base dell'induzione in realta'e', che evitiamo di verificare.

con , dunque:
cioe' la tesi.

 


Lemma 58

.

 
Dimostrazione

Per i lemmi precedenti:

 


Questi lemmi ci bastano per dimostrare che il raggio di convergenza della serie introdotta prima e'; se infatti e :

in quanto non appena , la coda della serie e' maggiorata da una serie geometrica.


Concludiamo la sezione con due importanti teoremi riguardanti la trasformata di Fourier.


Definizione 25

si dice a banda limitata se se .

 


Teorema 26 (del campionamento)

Sia e per . Se sono assegnati i valori per , allora si conosce la su tutta la retta reale e in particolare:

 
Dimostrazione

ha supporto in . Sviluppando in serie di Fourier:

con:
Ma si ha:
e calcolando l'ultimo integrale si ha la tesi.

 


Sia . Definisco la norma:

Questa norma e' equivalente alla norma:
quindi tale norma puo' essere estesa a tutte le funzioni di . Denotiamo inoltre lo spazio delle funzioni in per cui . Tale spazio (di Hilbert) e' lo spazio delle funzioni che hanno la prima derivata distribuzionale in . Analogamente si possono definire gli spazi .


Teorema 27

Siano funzioni tali che e uniformemente. Allora esiste una sottosuccessione che converge a .

 
Dimostrazione

, dunque esiste una sottosuccessione che converge a debolmente, cioe' per ogni . Denotiamo ; vorremmo vedere che , cioe'.

studiamo separatamente i due integrali. Per il primo:
quindi, preso , tale che , e percio':
Per il secondo integrale:
per .

 
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