L'equazione della corda vibrante

In questa sezione ci occuperemo di risolvere l'equazione della corda vibrante, definita da:

Vogliamo capire per quali condizioni iniziali esiste la soluzione e se e' unica.


Osservazione

Le funzioni risolvono l'equazione; dunque ogni serie della forma:

per certi la soddisfano. All'istante la funzione precedente diventa:
Ma quali funzioni si possono scrivere in questa forma?

 


Proviamo a risolvere l'equazione separando le variabili; scriviamo dunque . Sostituendo si ha:

Ma la due funzioni uguagliate sono in variabili diverse, dunque:
per un certo . Ci siamo dunque ricondotti a studiare il sistema:
in quanto vogliamo che la corda sia fissata alle estremita'. Supponiamo d'ora in poi . Vediamo che . Infatti:
ma integrando per parti:
in quanto , quindi perche' quoziente di due numeri positivi. Alla fine l'equazione caratteristica e', le cui radici sono , che portano a una soluzione:
a cui imponendo le condizioni iniziali diventa:
dove in quanto , con , e dunque . Dunque l'equazione e' risolubile solo nel caso in cui sia un quadrato.


Mettiamoci ora nel caso generale in cui non si possono separare le variabili; se supponiamo che la soluzione sia esprimibile con la sua serie di Fourier:

allora ci riconduciamo a risolvere:
Sostituendo le serie:
da cui ogni coefficiente e' perche'e' base, cioe' abbiamo dei sistemi ordinari:
La soluzione di questo sistema e':
per , mentre per la soluzione e' banalmente . Quindi ci rimane da studiare la convergenza della somma:
Se avessimo che:
allora avremmo che la serie convergerebbe assolutamente a una funzione in che sarebbe la soluzione voluta. Se e , abbiamo queste convergenze, che ci permettono di scrivere la soluzione dell'equazione della corda:


Proposizione (16)

Nelle ipotesi appena poste, la soluzione dell'equazione della corda e' unica.

 


Dimostrazione

Supponiamo che ce ne siano due, e ; si . e' una funzione periodica sul toro che soddisfa:

Allora , da cui integrando per parti:
quindi ho che la somma di due numeri positivi e', cioe':
quindi la somma fra parentesi e' costante:
percio' e , cioe', ma essendo all'inizio e' sempre.

 


Consideriamo ora il caso bidimensionale, cioe' consideriamo una membrana fissata al bordo libera di vibrare. Supponiamo che e cerchiamo una funzione che in ogni momento indichi l'altezza del punto . Passiamo in coordinate polari:

Dunque ho che , con . L'equazione da risolvere (analogamente al caso 1-dimensionale) e':
dunque calcoliamo:
dunque:
Separiamo le variabili e supponiamo che . Con passaggi simili al caso 1-dimensionale si ottiene:
con . Ma:
dunque , cioe' con . Questa e' un'equazione di Bessel; una generica equazione di Bessel ha la forma:
con . Ci occupiamo solo del caso . Con un cambio di variabili ci riconduciamo a un'equazione del tipo:
con (detta equazione equi-indiciale di Eulero). Ponendo , si ha e e quindi:
L'equazione caratteristica e'; supponendo che , ho due soluzioni distinte e reali , che mi danno una soluzione generale del tipo:
che riportata in funzione di :
Se invece il discriminante e', la soluzione generale e':


Nel caso generale, l'equazione e':

con . Per Cauchy-Lipschitz la soluzione esiste ed e' unica, e la soluzione generale sara' del tipo con soluzioni particolari linearmente indipendenti.

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