L'equazione del calore

Vogliamo trovare le funzioni che risolvono:

(). Tale equazione descrive lo spostamento di calore dentro un segmento in cui la temperatura al tempo e' descritta dalla funzione . Supponiamo innanzitutto che la soluzione sia esprimibile come serie di Fourier:
Denotiamo con la somma troncata dal termine -esimo al termine -esimo di ; anche queste funzioni risolvono il sistema e dunque sostituendo nell'equazione:
da cui:
che per quanto visto implica che . Se scriviamo inoltre il dato iniziale:
tramite la somma associata di Fourier, viene fuori che:
cioe'. Ci siamo quindi ricondotti a studiare equazioni ordinarie definite da:
che hanno le soluzioni . Quindi possiamo scrivere:
Ci chiediamo ora se e' possibile fare il limite ; se il dato iniziale e' continuo e , si ha:
in quanto ; pero' se la somma diverge. Se invece , si ha , dunque:
ma sempre per . In conclusione, se , la soluzione dell'equazione del calore esiste ed e':
per ogni fissato . Vediamo pero' che la soluzione e' molto piu' regolare; infatti la sua derivata (formale) esiste in quanto:
poiche' l'esponenziale va a piu' veloce di qualsiasi ; dunque anche la derivata di e' continua, e con un ragionamento del tutto analogo sulle derivate successive otteniamo che . L'osservazione che potrebbe anche non essere definita in ci suggerisce che lo spostamento di calore e' un processo irreversibile; conoscendo le temperature a un istante non possiamo risalire alle temperature iniziali.


Proposizione (17)

Se , l'equazione del calore e' unica.

 


Dimostrazione

Siano due soluzioni e sia ; risolve:

Allora:
Integrando per parti:
Otteniamo quindi che la funzione e' decrescente e positiva, ma valendo al tempo e' obbligata a valere a tappeto, cioe'.

 



Teorema (13)

. Se , allora quando .

 


Dimostrazione

Come al solito, l'idea e' quella di spezzare le frequenze. Si ha:

Ma ora:
in quanto , mentre:
scegliendo abbastanza piccolo affinche', dove .

 


Proviamo ad indebolire l'ipotesi sulla successione e vediamo quali dei precedenti risultati continuano a valere.


Osservazione

Con conti gia' fatti, abbiamo ottenuto (moltiplicando l'equazione del calore per e integrando):

quindi integrando rispetto a si ha:
in quanto l'ultimo membro e' il valore dell'integrale al tempo . Supponiamo di poter scrivere:
e supponendo di poter usare l'identita' di Parseval si ha:
Inoltre, supponendo di poter applicare Parseval anche alla derivata, possiamo scrivere:
Sostituendo a questo punto nella prima equazione ottenuta, ricaviamo:
Ma allora, se chiediamo per ipotesi che , grazie a questa uguaglianza segue che e che:
cioe' la serie e' finita per quasi tutti gli . Quindi la mappa lineare e' limitata , mentre la mappa lineare e' limitata per quasi tutti i , ma per alcuni puo' essere illimitata.

 


Teorema (14)

Se e e' la soluzione dell'equazione del calore, allora in quando , cioe':

 


Dimostrazione

Per Parseval, ; inoltre , dunque . Notiamo anche che , quindi, spezzando le frequenze:

scegliendo abbastanza piccolo affinche'.

 



Osservazione

Definiamo funzione di Green:

per e (la serie converge assolutamente). Supponiamo inoltre che la condizione iniziale dell'equazione del calore sia come sempre ; allora notiamo che:
cioe'.

 



Osservazione

Supponiamo di voler risolvere la stessa equazione del calore ma con condizioni iniziali diverse; ad esempio risolviamo il problema di Dirichlet:

A differenza del problema gia' risolto, notiamo che qua non ci sono soluzioni costanti non banali. Separando le variabili, si ottiene che la soluzione deve essere scritta in somma di seni (infatti la soluzione di
e', con ); ma allora, se il dato iniziali e':
allora in maniera analoga a come gia' fatto, si ottiene:
e tale soluzione e' unica (si dimostra con gli stessi calcoli fatti per l'altro problema). A questo punto, risolvere il problema di Von Neumann:
e' del tutto analogo.

 


Consideriamo adesso l'equazione del calore in piu' dimensioni; sia dunque un chiuso limitato con parte interna non vuota e cerchiamo tale che:

Separiamo le variabili: . Allora sostituendo nell'equazione:
Dunque ci siamo ricondotti a studiare:
Anche in questo caso, vogliamo vedere che . Per le formule di Gauss-Green:
e ancora concludiamo che . A questo punto dobbiamo trovare una successione crescente e una successione tale che e abbastanza densa da permettere di scrivere:
infatti in questo modo potrei scrivere (in analogia al caso -dimensionale):
Purtroppo in generale queste sono molto difficili da trovare e spesso non scrivibili esplicitamente; un caso abbastanza fortunato e' quello di , in quanto in questa situazione le sono le cosiddette funzioni di Bessel.


Proposizione (18 Disuguaglianza di Poincar\'e)

Sia tale che . Allora costante universale tale che:

 


Dimostrazione

Per le disuguaglianze della media integrale, ed tale che . Abbiamo che , dunque:

che e' la tesi, in quanto .

 


Riprendiamo l'equazione del calore con periodicita' e con tale che . Allora osserviamo che il valor medio di e' in ogni momento, in quanto:

dunque e' costantemente . Moltiplicando l'equazione del calore per e integrando per parti si ha:
applicando la disuguaglianza di Poincare' si ricava:
quindi:
cioe', per certi ; ricaviamo che, se il valor medio di all'istante e', allora la soluzione dell'equazione del calore decade esponenzialmente in norma .


Possiamo fare lo stesso ragionamento anche nel caso del problema di Dirichlet, usando:


Proposizione (19 Disuguaglianza di Poincar\'e - variante)

, . Allora costante universale tale che:

 


Dimostrazione

e si conclude come nella dimostrazione dell'altra disuguaglianza di Poincare'.

 


Vogliamo ora estendere questo ragionamento all'equazione del calore in piu' dimensioni; innanzitutto dimostriamo la seguente:


Proposizione (20 Disuguaglianza di Poincar\'e - caso multidimensionale)

Sia , e sia . Allora:

 


Dimostrazione

Sia . , dunque:

Ma allora:
Ripetendo lo stesso argomento per si ottiene la tesi.

 



Proposizione (21 Integrazione per parti)

Siano , limitato con bordo regolare. Allora:

dove e' il vettore normale alla superficie.

 


Dimostrazione

Basta applicare il teorema della divergenza all'uguaglianza (integrata):

 



Corollario (22)

Siano , limitato con bordo regolare. Allora:

 


A questo punto, prendiamo l'equazione del calore in piu' variabili:

con limitato regolare. Procedendo come al solito, si ricava:
Applicando la seconda formula di integrazione per parti in piu' variabili, si ottiene:
quindi usando la disuguaglianza di Poincare' si conclude:
che comporta che per certi , cioe' anche in questo caso la soluzione dell'equazione del calore decade esponenzialmente in norma .

 PrecedenteSuccessivo