Convergenza di serie di Fourier

D'ora in poi indicheremo con il toro; le funzioni considerate saranno (se non specificato diversamente) definite su , cioe' periodiche di periodo .


Supponiamo che una certa funzione ammetta la scrittura in serie:

per certi coefficienti e . Osservato che:
se , mentre valgono rispettivamente e se e:
, segue che:


Definizione (1)

Data una funzione , definiamo serie di Fourier di la serie formale:

dove:
cioe' gli sono legati dalle relazioni e .

 


Ci occuperemo ora di trovare condizioni affinche' la serie di Fourier converga e converga esattamente ad . Data , denoteremo con i coefficienti .


Proposizione (1 Lemma di Riemann-Lebesgue)

Sia . Allora quando .

 


Dimostrazione

Denotata la serie di Fourier di troncata ai termini e , si ha:

da cui si ricava mandando la disuguaglianza di Bessel, cioe':
Segue immediatamente che, essendo il membro a sinistra finito, e dunque quando .

 



Corollario (2)

Se , allora ; in particolare quando .

 


Dimostrazione

Integrando per parti:

da cui ricorsivamente , cioe' la tesi.

 



Corollario (3)

Se , allora la serie di Fourier converge assolutamente.

 


Dimostrazione

Si ha:

per la disuguaglianza , ma , dunque la serie converge e segue che , cioe' la serie di Fourier converge assolutamente.

 



Definizione (2)

Definiamo nucleo di Dirichlet:

 



Proposizione (4)

Si ha l'uguaglianza:

 


Dimostrazione

Direttamente:

 
Osservazione

e' pari; inoltre si ha:

 
Teorema (3)

. Allora per .

 
Dimostrazione

Innanzitutto notiamo che:

Ma visto che , allora ; segue quindi che:
Con semplici manipolazioni:
in quanto la derivata di una funzione e' continua, ma l'ultimo membro va a quando per il lemma di Riemann-Lebesgue (infatti basta scrivere e scomporre l'integrale in due parti, di cui ciascuna infinitesima). Segue dunque che .

 


Interessiamoci ora a quanto si possano indebolire le ipotesi di questo teorema mantenendolo vero; facciamo prima un'osservazione.

Osservazione

Sia . Definiamo la funzione:

e sia il prolungamento -periodico di . Per il lemma di Riemann-Lebesgue:
Analogamente posso ragionare con il prolungamento per disparita' di e ottenere lo stesso risultato per .

 
Teorema (4)

a tratti, cioe' e la derivata esiste dovunque tranne che in un numero finito di punti, nei quali derivate destre e sinistre. Allora quando .

 
Dimostrazione

Per la parita' del nucleo di Dirichlet

quindi nei punti di discontinuita' della derivata (negli altri la convergenza e' gia' stata dimostrata) vale:
Considerando separatamente i due integrali, si procede come nella dimostrazione del teorema analogo gia' visto, usando che derivata destra e sinistra esistono e sono finite; con il trucco gia' usato per spezzare il seno di e con l'osservazione precedente si giunge alla tesi.

 
Teorema (5)

a tratti con punti di salto. Se:

dove , allora quando .

 
Dimostrazione

Dobbiamo controllare la convergenza solo nei punti , in quanto negli altri punti la convergenza segue da teoremi precedenti. Si ha:

e si conclude come fatto precedentemente sfruttando che e' su .

 

Diamo per buono il seguente teorema di densita':

Teorema (6)

. , tale che:

 
Lemma (di Riemann-Lebesgue)

. Allora quando (per il coseno e' analogo).

 
Dimostrazione

Sia data dal teorema precedente. Allora:

da cui segue la tesi.

 
Teorema (di Dini)

tale che per cui:

Allora (o eventualmente a definita come sopra).

 
Dimostrazione

Dall'ipotesi segue che , dunque si conclude per il lemma di Riemann-Lebesgue (dopo aver spezzato come al solito).

 
Osservazione

Sia . Proviamo a stimare :

studiamo separatamente i due integrali.
per il lemma di Riemann-Lebesgue, in quanto la funzione di cui stiamo calcolando i coefficienti di Fourier e'.
per continuita' di in un compatto (e dunque per uniforme continuita' di ). Dunque, se vediamo che l'integrale di in un intorno di rimane limitato per , allora avremmo che la serie di Fourier di converge a per ogni funzione continua. Purtroppo pero' questo non e' vero.
dove abbiamo usato che .

 

Infatti Du Bois-Raymond costrui' una funzione tale che non converge a per qualche .

Lemma (6)

. Allora:

  1. ;
  1. .
 
Dimostrazione
  1. Direttamente:

  1. Grazie al primo punto:

 
Osservazione

Analogamente, .

 
Osservazione

Se , allora la serie converge a un certo tale che . Infatti la serie converge assolutamente, e detto il suo limite, si ha:

 

A questo punto, l'idea per costruire un'approssimante e' passare per la convergenza secondo Cesaro.

Proposizione

successione. Se allora (e si dice sommabile secondo Cesaro).

 
Dimostrazione

, tale che per . Dunque:

con fissato, cioe' la tesi.

 
Definizione

Definiamo .

 
Osservazione

Con calcoli simili a quelli gia' fatti per , si ottiene:

 
Definizione (9)

Definiamo nucleo di Fejer:

 
Proposizione (8)

Il nucleo di Fejer ha un'espressione esplicita:

 
Osservazione
  • .
  • , cioe'e' pari.
  • .
  • , tale che .

Infatti:

quando .

  • .
 
Teorema (10)

. Allora uniformemente quando , cioe':

 
Dimostrazione

Spezziamo l'integrale:

e' continua in che e' un compatto, dunque e' uniformemente continua ed tale che per . Dunque:
mentre:
per un certo quando . Visto che la maggiorazione e' indipendente da , si ha anche che la convergenza e' uniforme.

 



Definizione (11)

Una successione di funzioni si dice successione di Dirac se soddisfa le proprieta':

  • ;
  • ;
  • ;
  • se .
 



Osservazione

In maniera del tutto analoga alla dimostrazione del teorema precedente, se e' una successione di Dirac, allora:

 



Osservazione

, infatti:

 



Osservazione

facendo un cambio di variabili.

 



Osservazione

.

 



Proposizione (9)

, , . Allora:

 


Dimostrazione

Per lo abbiamo gia' visto; inoltre per e' del tutto evidente. La funzione , quindi . Se e' tale che , abbiamo:

cioe', per la disuguaglianza di Holder:
Dunque:
da cui la tesi estraendo la radice -esima.

 



Osservazione

La formula per e' molto piu' complicata, infatti:

dunque , dove . Ma e' gia' scritta con la sua serie di Fourier, dunque il suo coefficiente di Fourier -esimo non e' altro che:
Si ottiene:

 


Enunciamo la seguente proposizione, che useremo spesso in seguito, ma di cui tralasciamo la dimostrazione:


Proposizione (10)

e . Allora e:

 



Proposizione (11)

Si ha:

 



Proposizione (12)

Sia tale che . Allora .

 


Dimostrazione

Per quanto visto, la successione:

dunque , cioe'.

 



Teorema (12)

. Allora:

 


Dimostrazione

Per il teorema di Lusin, tale che . Scrivendo , si ha:

Inoltre, visto che e , si conclude che:

 



Corollario (13)

tale che . Allora quasi ovunque.

 


Dimostrazione

Per il teorema precedente si ha che , cioe' quasi ovunque.

 



Osservazione

Prendiamo e consideriamo le somme parziali . La successione e' di Cauchy, in quanto:

poiche'e' la coda di una serie convergente. Ma e' completo, dunque tale che:

 



Proposizione (14 Identit\'a di Parseval)

Sia con (in modo che l'uguaglianza precedente sia giustificata). Allora vale l'uguaglianza:

 


Dimostrazione

Con facili calcoli:

 



Proposizione (15)

curva chiusa, semplice e . Allora l'area della zona interna a e' massima quando e' la circonferenza.

 


Dimostrazione

Sia , , PLA. Scrivendo e in serie di Fourier:

e:
Per Gauss Green, l'area delimitata puo' essere calcolata come:
Ma la curva e' PLA, quindi per Parseval:
A questo punto:
Per massimizzare l'area si deve minimizzare il termine di destra, quindi , e per ; si ottiene:
Ma e' PLA, quindi si ricava , cioe' e ; per le formule di addizione del seno e coseno si arriva a:
cioe' la tesi.

 
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