Correzione verifica es. 3

Dati massa e raggio della terra, calcolare la velocità tangenziale di un satellite posto in orbita circolare ad una certa altezza.

VARIABILI

Descrizione della variabile	Nome	Valore	u.m.	Val. SI	u.m. SI
Massa della Terra	$m_{T}$ $m_{T}$	5.98E24	kg
Raggio della Terra	$r_{T}$ $r_{T}$	6380	km	6.380E6	m
Altezza (dal suolo)	h	12000	km	1.2E7	m
Velocità tangenziale del satellite	$v_{T}$ $v_{T}$			?	m/s
Massa del satellite	$m_{s}$ $m_{s}$	//
Pi greco		circa 355/113
Forza centrifuga sul satellite	$F_{c}$ $F_{c}$	//
Forza gravitazionale sul satellite	$F_{g}$ $F_{g}$	//
Costante di gravitazione universale	G	6.67E-11	${\frac {N\ m^{2}}{kg^{2}}}$ ${\frac {N\ m^{2}}{kg^{2}}}$
Periodo di rivoluzione del satellite	T	?	h min
numero di ore del periodo	h	?	h
avanzo in minuti del periodo	min	?	min

RISOLUZIONE

Calcoliamo la velocità tangenziale imponendo che la forza centrifuga sia uguale a quella gravitazionale:

F_{c}=F_{g}

{\frac {{m_{s}}\ v_{T}^{2}}{(r_{t}+h)}}={\frac {G\ m_{T}\ m_{s}}{(r_{T}+h)^{2}}}

v_{T}^{2}={\frac {G\ m_{T}\ }{(r_{T}+h)}}

Esplicitiamo

v_{T}

:

v_{T}={\sqrt {\frac {G\ m_{T}}{r_{T}+h}}}={\sqrt {\frac {6.67E-11\ {\frac {N\ m^{2}}{kg^{2}}}5.98E24kg}{(18380km)}}}={\sqrt {\frac {6.67E-11\ {\frac {{\frac {kg\ m}{s^{2}}}\ m^{2}}{kg^{2}}}5.98E24kg}{(1.8380E7m)}}}=

v_{T}={\sqrt {\frac {G\ m_{T}}{r_{T}+h}}}={\sqrt {\frac {6.67E-11\ {\frac {N\ m^{2}}{kg^{2}}}5.98E24kg}{(18380km)}}}={\sqrt {\frac {6.67E-11\ {\frac {{\frac {kg\ m}{s^{2}}}\ m^{2}}{kg^{2}}}5.98E24kg}{(1.8380E7m)}}}=

={\sqrt {\frac {-3.99E-10{\frac {m^{3}}{s^{2}}}}{(1.8380E7m)}}}={\sqrt {2.1709E-10{\frac {m^{3}}{s^{2}}}}}=4.6584E3{\frac {m}{s}}

Calcoliamo il periodo dividendo, la lunghezza della traiettoria circolare, per, la velocità tangenziale:

T={\frac {2\pi (r_{T}+h)}{v_{t}}}={\frac {2\ {\frac {355}{113}}(18380E3m)}{4.658E3{\frac {m}{s}}}}=24792.82s

Convertiamo in ore e minuti:

h=T[s]\cdot {\frac {1h}{3600s}}=(24792.82s){\frac {1h}{3600s}}=6.8869\ h

Consideriamo quanto avanza dalle 6 ore calcolate:

$min=(T[s]-6h[s])\cdot {\frac {1min}{60s}}=(24792.82s-21600s)\cdot {\frac {1min}{60s}}={\frac {3192.82}{60}}min=53.2137min\simeq 53min$ $min=(T[s]-6h[s])\cdot {\frac {1min}{60s}}=(24792.82s-21600s)\cdot {\frac {1min}{60s}}={\frac {3192.82}{60}}min=53.2137min\simeq 53min$

I risultati richiesti sono pertanto:

$v_{T}=4658.4{\frac {m}{s}}$ $v_{T}=4658.4{\frac {m}{s}}$
T = 6 h 53 min