Vincoli, virtualismi, variabili lagrangiane

Vincoli olonomi[modifica | modifica wikitesto]

Come abbiamo già detto nell'introduzione, la meccanica lagrangiana ha come scopo aggirare i vincoli nello studio del sistema; andiamo adesso ad elencare due tipi di vincoli.

I vincoli olonomi bilaterali sono le funzioni che descrivono insiemi di bordo; la loro espressione generale è:

Un esempio è la guida circolare, la cui espressione è

I vincoli olonomi unilaterali, invece, sono relazioni che riguardano una sola variabile (unilaterale non a caso); la loro espressione generale è:

Un esempio è una pallina che sbatte a un muro: può muoversi dove vuole da una parte, ma non può superare il muro; l'espressione di un vincolo simile può essere dove il muro è considerato come l'asse delle ordinate.

Per vincoli particolari, ad esempio delle guide dalla forma strane attraverso cui passa un anello, possono essere descritte da entrambi i modi, o da composizione di vincoli unilaterali e bilaterali.

Variabili lagrangiane e virtualismi[modifica | modifica wikitesto]

Le variabili lagrangiane sono delle variabili che servono a descrivere al meglio l'evoluzione temporale di un sistema fisico; la loro caratteristica principale è quella di essere non vincolate e di inglobare i vincoli nelle loro stesse definizioni. Esse sono tante quanti sono i gradi di libertà del sistema; a seconda dei vincoli, poi, possono essere anche di meno. La fondamentale importanza dell'utilizzo delle variabili lagrangiane è dovuto al fatto che queste sono indipendenti tra loro.

In meccanica newtoniana, si usavano coordinate spaziali, indicate come una certa distanza dall'origine del sistema di riferimento considerato, indicabili con . Queste variabili possono essere trasformate nelle variabili lagrangiane attraverso opportune trasformazioni, e diventeranno funzione di quelle, ovvero si potrà scrivere . Le variabili lagrangiane le indicheremo da ora in poi con il simboli dove l'indice indica semplicemente l'ordine di numerazione delle variabili.

Posta la trasformazione dalle variabili newtoniane alle lagrangiane, è possibile anche calcolare lo spostamento infinitesimo compiuto da un sistema vincolato in cui sia il sistema che i vincoli evolvono nel tempo:

Ora, il termine indica lo spostamento reale del sistema secondo le variabili newtoniane. A volte, però, è più comodo parlare di spostamento virtuale di un sistema vincolato. Facciamo un esempio per chiarire di cosa parliamo.

Prendiamo un punto materiale costretto a muoversi lungo una guida. Il percorso che il punto può fare lungo la guida è determinato e non può cambiare; il moto generale del punto nello spazio, però, può essere qualsiasi: se infatti si fa muovere la guida nello spazio, è vero che il punto, lungo essa, può solo percorrere quel determinato tragitto, ma esso si muove assieme alla guida, e quindi lo spostamento reale sarà somma di due contributi: lo spostamento del punto lunga la guida e lo spostamento della guida stessa. Chiameremo lo spostamento del punto lungo la guida spostamento virtuale. La sua definizione generale è la seguente.

Definizione
Si definisce spostamento virtuale di un sistema lo spostamento permesso dal vincolo se questo fosse fermo. Si indica lo spostamento virtuale con
 
Il modo migliore per visualizzare lo spostamento virtuale è fissare il tempo e vedere quali movimenti sono permessi al nostro sistema vincolato. Poiché il tempo è fisso, e consideriamo, nello spostamento virtuale, i vincoli totalmente indipendenti dal tempo (perché studiamo solo i movimenti permessi da questi, senza indagare l'evoluzione del vincolo nel tempo), l'espressione di funzione delle variabili lagrangiane deriva direttamente da quella di , basta considerare il tempo ininfluente. Avremo quindi

Indicheremo con il simbolo le quantità reali, con il simbolo quelle virtuali. In meccanina newtoniana, l'equazione differenziale che descriveva l'evolversi dello stato di un sistema è data dalla seconda legge della dinamica

indica le forze vincolari, che non sempre è facile o possibile calcolare. Il nostro primo obiettivo sarà quello di scrivere questa formula in funzione delle variabili lagrangiane, indipendenti dai vincoli, per le quali non valgono quindi le reazioni . Prima di poter giungere a quel risultato, però, c'è ancora un po' di strada da fare.

Terminiamo il capitolo parlando di lavoro virtuale, che ci permette di definire anche un altro vincolo:

Definizione

Data la definizione di lavoro meccanico , si definisce lavoro virtuale

 

Lo spostamento virtuale, ovviamente, rientra nella definizione di lavoro virtuale. La somma delle forze agenti sul sistema vincolato permettono a questo di muoversi solo lungo il vincolo, ed è quindi necessario che si parli di spostamento virtuale. Questo ci permette quindi di definire:

Definizione

Si definisce vincolo perfetto bilaterale un vincolo tale che

 

Un vincolo perfetto bilaterale rende quindi il lavoro virtuale delle forze vincolari nullo per ogni infinitesimo spostamento virtuale .

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