La lagrangiana e le equazioni di Eulero-Lagrange

Sulla scia del capitolo precedente, cerchiamo di dare una forma dipendente dalle variabili lagrangiane all'equazione di Newton. Per prima cosa, diciamo che questo capitolo è un sacco derivante, cioè faremo derivate, derivate, derivate. Poi, iniziamo subito a ricordare qualche elemento da tenere in considerazione:

Premessa immediata: se i vincoli sono indipendenti dal tempo, i valori sono nulli, e quindi l'energia cinetica ha un'espressione semplice. Consideriamo proprio questo caso: un sistema i cui vincoli siano indipendenti dal tempo.

Iniziamo a macinare derivate. Ora, quel che faremo è un po' senza senso: deriviamo cose e poi le cosiamo assieme vedendo cosa viene fuori. Pronti? Andiamo. Deriviamo rispetto a e alle velocità e energia cinetica:

Nell'ultima espressione, non abbiamo scritto per esteso il valore di perché risulta più comodo vederla così, in vista del prossimo passo che stiamo per compiere, ovvero derivare totalmente rispetto al tempo l'ultima espressione:

Da cui ottengo che:

Riprendiamo ora l'equazione simbolica di d'Alembert, e imponiamo al problema di soddisfarla, ovvero di compiere il suo moto naturale; in questa, sostituiamo l'espressione di ottenendo:

Poiché il sistema soddisfa l'equazione simbolica di d'Alembert, i vincoli saranno perfetti bilaterali, e il lavoro virtuale è quindi nullo. È lecito quindi scrivere l'espressione di sopra  :

Ricordando l'espressione scritta poco fa, e ricordando l'espressione del lavoro virtuale che abbiamo dato nel precedente capitolo, otteniamo:

Adesso, ricordiamo che, per la loro definizione, i sono valori completamente indipendenti tra loro, e possiamo quindi semplificarli nella precedente espressione, ottenendo quelle che vengono chiamate equazioni di Lagrange:

Queste sono equazioni differenziali. Il caso interessante è quello in cui le componenti lagrangiane derivano da forze derivanti da potenziali; per queste, è possibile scrivere:

Ed è quindi possibile sostituire questa espressione nelle equazioni di Lagrange:

Ora ragioniamo sul fatto che, se i potenziali sono funzioni solo delle , la loro derivata rispetto a queste è nulla, poiché le sono indipendenti tra loro. Se questo accade, allora è lecito scrivere:

Dove ovviamente non ci interessa minimamente se si deriva in o in : è la stessa cosa, è lecito poter scrivere al posto di . Allora, a questo punto, introduciamo la funzione.

Che chiameremo lagrangiana. Ripetendo il ragionamento compiuto finora, otteniamo l'espressione:

Queste vengono chiamate equazioni di Eulero-Lagrange; come per le equazioni di Lagrange, sono equazioni differenziali. La soluzione di questo sistema differenziale fornisce le equazioni del moto del sistema. Adesso, ragionando al di là del percorso teorico affrontato per poter raggiungere questo strumento, è immediato comprendere come, utilizzando queste equazioni, si possa facilmente e velocemente risolvere un problema di meccanica in cui è presente un sistema vincolato; attraverso l'opportuna scelta delle variabili lagrangiane, che ricordiamo essere arbitrarie, risulta poi facile determinare le equazioni del moto e, quindi, come evolve il sistema nel tempo. Basta semplicemente scriversi la funzione lagrangiana, derivarla e il lavoro è fatto. E non si rischia più di diventare scemi per risolvere un problema di meccanica.

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