Spazi delle fasi

Abbiamo visto che, nel formalismo hamiltoniano, si studia l'evolvere di un sistema fisico al variare delle coordinate lagrangiane e dei rispettivi momenti coniugati . È allora interessante graficare proprio queste variabili, ottenendo quello che si definisce spazio delle fasi, ovvero un grafico con i momenti sulle ordinate. Questo è un esempio di spazio delle fasi, di un sistema instabile:

Focal stability.png

Vediamo qualche esempio di spazi delle fasi. Iniziamo con l' oscillatore armonico: scriviamone la lagrangiana.

L'energia generalizzata , in questo caso particolare, coincide con l'energia totale del sistema. Il momento coniugato di sarà ; l'hamiltoniana è:

Questa formula è simile ad un'espressione del tipo , che è l'equazione di un'ellisse. Ciò significa che, nello spazio delle fasi, il moto normale del sistema sarà descritto da una traiettoria elissoidale; le curve di livello del grafico, ovvero le varie ellissi, variano di dimensioni a seconda dell'energia del sistema.

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