Parentesi di Poisson

+Date due funzioni e , si definisce la parentesi di Poisson tra e :

L'espressione qui sopra si legge f poisson g. Questo elemento ha particolare importanza nella meccanica hamiltoniana, come vedremo nel prossimo capitolo. Introduciamo intanto le tre proprietà delle parentesi di Poisson:

  • Antisimmetria Le parentesi di Poisson rispettano la proprietà dell'antisimmetria; infatti:

  • Bilinearità Le parentesi di Poisson sono bilineari, ovvero valgono:

  • Rispettano l' identità di Jacobi, per tre funzioni :

Le parentesi di Poisson sono quindi un'operazione, dotata di proprietà, tra funzioni di variabili hamiltoniane. Quest'operazione fornisce quindi una struttura al formalismo hamiltoniano, ed è una struttura di tipo simplettico (si parla infatti di "strutta simplettica della meccanica hamiltoniana"). Vediamo adesso alcune caratteristiche principali delle parentesi di Poisson.

Siamo e indipendenti tra loro, e valga lo stesso per e ; allora vale:

Lo stesso risultato si ottiene per ; i sono i delta di Kronecker, che valgono se gli indici sono uguali (), valgono invece in tutti gli altri casi. Consideriamo ora:

Questo è molto interessante perché vale quando gli indici sono uguali, sono nulle in tutti gli altri casi.

Vediamo adesso come le equazioni canoniche di Hamilton riflettano la struttura simplettica del formalismo hamiltoniano; calcoliamo infatti:

Che riflette la legge ; allo stesso modo:

Che riflette la legge .

Un'altra utile applicazione delle parentesi di Poisson è che è possibile esprimere le derivate totali tramite questo strumento; vediamo come, data :

Un modo di esprimere la derivata totale è quindi e, in alcuni casi, è anche un metodo più semplice per calcolarla.

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