Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionale

Il problema della brachistocrona, il cui nome è già di per sé un problema, è un famoso quesito risalente addirittura all'antica Grecia; il problema presentato è molto semplice: bisogna far giungere un grave da un punto iniziale (l'origine nell'immagine qui sotto) a un punto finale (il punto ) nel minor tempo possibile, ricordando che il grave è soggetto a forza peso. Qual è il percorso migliore che minimizzi il tempo impiegato? Ovvero, qual è il migliore scivolo?

Nell'immagine sono riportate alcune possibili traiettorie; in rosso una traiettoria simile a quella cercata

Come può immediatamente essere notato, questo problema non riguarda più il variare di una variabile, bensì varia la funzione. Scriviamo l'energia totale del sistema:

Dove è la traiettoria della curva seguita dal grave; da questa espressione ricaviamo che la velocità è ; inoltre, poiché vale , otteniamo la relazione . Analizziamo meglio lo spostamento infinitesimo :

Spostbrachi.png


Come possiamo vedere, lo spostamento infinitesimo vale ; questo può essere anche scritto:

Il tempo impiegato dal grave è dato da:

Come possiamo vedere, il tempo è funzione della curva percorsa; sarà quindi , si indica con le parentesi quadre, e in matematica è un oggetto noto come funzionale: a seconda della traiettoria percorsa, assumerà valori sempre diversi. Quello che noi cerchiamo è proprio il valore minimo, quindi dobbiamo minimizzare un funzionale. Come possiamo fare?

Elementi di analisi funzionale: variazione di un funzionale[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo la funzione (generica) . Siano tutte le funzioni , con ; l'espressione è la derivata prima della funzione, ovvero . Chiamo:

Questo è un funzionale della funzione . Come varia al variare di ? Scelgo la funzione come la seguente funzione particolare:

Con le particolari condizioni al contorno e , ovvero molto piccolo. Quello che sto facendo, in realtà, è semplicemente variare la funzione mantenendone fissi gli estremi, come nella figura seguente (in rosso , in tratteggiato le , mantenendo fissi gli estremi e .

Variazioni di al variare delle arbitrarie

Con la funzione così definita, il funzionale diventa:

In questo modo, abbiamo trasformato il funzionale in una funzione che dipende solo dal parametro , perché è fissata. Di una funzione so scrivere la sua derivata, che sarà quindi:

La precedente notazione prevede perché, per come è presa , il parametro è molto piccolo; inoltre, l'indice basso della derivata indica che quella va calcolata per . Quando varia, ovviamente, introduco un diverso da zero, quando invece si ha che . Al variare di , quindi, variano sia che . Dalla precedente espressione posso calcolare :

Il secondo membro lo integriamo per parti, ottenendo così:

Ricordando che, per definizione, , otteniamo l'espressione:

Per poter trovare un minimo, il nostro obiettivo, deve essere nullo, cosicché resti stazionario. Allora deve valere:

Ricordiamo ancora una volta che è arbitraria, purché si annulli agli estremi. Esiste un lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, che ora dimostreremo.

Lemma

Sia , con . Allora deve necessariamente essere .

 
Dimostrazione

La condizione necessaria e sufficiente affinché è che . Che è sufficiente è banale, non perdiamo neanche tempo a mostrarlo; dobbiamo dimostrare che è necessaria.

Procediamo per assurdo. Sia arbitraria e , per esempio una sinusoide. In un periodo vale . Allora prendo così definita:

Questo supponendo che esisterà un tale che . Secondo queste ipotesi, per così definita (ricordiamo che è arbitraria), per , si ha che:

Il che è contrario all'ipotesi del lemma, quindi, per assurdo, deve necessariamente essere .

 

Quindi, per questo lemma appena dimostrato, affinché il funzionale resti statico deve necessariamente essere:

Ciò significa che, dato un funzionale definito come sopra, di una funzione , affinché questo resti stazionario la funzione considerata deve soddisfare questa questa equazione differenziale appena scritta, con le condizioni a contorno e .

Nel prossimo capitolo vedremo come tutto ciò ha a che fare con quello che stiamo studiando: non ci mettiamo a fare analisi funzionale a caso, così, tanto perché è divertente torturare gli studenti.

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