Il principio variazionale di Hamilton ampliato

Abbiamo dimostrato, nei capitoli precedenti, il principio variazionale di Hamilton, osservando come un sistema di cui è possibile scrivere la lagrangiana compie una traiettoria che rende stazionario, generalmente minimo, il funzionale formale azione. Questo principio, in realtà un teorema, perché abbiamo potuto dimostrarlo (per altri esempi famosi di teoremi dimostrabili passati alla storia sotto il nome di principio, ci rifacciamo al principio di indeterminazione), parla di lagrangiana, ma viene studiato nel formalismo hamiltoniano. È immediato quindi chiedersi se una cosa simile è possibile anche riguardo l'hamiltoniana; la risposta è positiva e va sotto il nome di principio variazionale di Hamilton ampliato. L'aggettivo ampliato si riferisce al metodo utilizzato per studiare la variazione del funzionale formale: non varieremo solo la traiettoria , ma anche il suo momento coniugato . Procediamo per gradi.

Siano le variabili canoniche di un sistema, prese indipendenti tra loro, che soddisfano le equazioni canoniche di Hamilton. Studiamo di questo sistema le variazioni e . Per poter visualizzare al meglio le variazioni, prendiamo lo spazio delle fasi dell'oscillatore armonico.

In azzurro le variazioni di

Come per il principio non ampliato, non facciamo variare ne , ovvero . Si definisce azione ampliata il funzionale:

La prima osservazione, non banale, è che l'azione ampliata non è uguale all'azione, ovvero . Procediamo come nel caso precedente, studiandone la variazione. In questo non varia solo la traiettoria ma varia anche . Nella seguente dimostrazione ci limitiamo, per semplicità di notazione, al caso unidimensionale (gradi di libertà ); nel caso multidimensionale è del tutto identica, basta aggiungere la sommatoria. Scriviamo le funzioni che variano come:

.

Possiamo ora scrivere la variazione del funzionale:

Sviluppo per parti il fattore , ottenendo ; sostituendo:

Ricordiamo ora che come condizioni abbiamo posto , e che il nostro sistema soddisfa le equazioni canoniche di Hamilton, che compaiono qui. Sostituendo e raggruppando, otteniamo:

Tutto questo sempre tenendo in considerazione che sono arbitrari. Abbiamo appena dimostrato che, per un sistema che compie il suo moto normale, di cui è possibile scrivere l'hamiltoniana e le cui variabili canoniche soddisfano le equazioni canoniche, il funzionale formale azione ampliata è stazionario. Per meglio esprimerci:

Principio di Hamilton ampliato

Se un sistema segue la sua traiettoria normale, allora l'azione ampliata è stazionaria, generalmente minima. Ciò vuol dire che, tra tutte le traiettorie possibili, il sistema compie la particolare , di momento coniugato , tali che questi due elementi minimizzino l'azione ampliata.

Esattamente come per il principio variazionale non ampliato, questo risultato è di notevole interesse, seppur aspettato (poiché l'hamiltoniana deriva direttamente dalla lagrangiana, era auspicabile ottenere un risultato simile).

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