Funzione principale di Hamilton

Trattiamo adesso un argomento che termina lo studio variazionale fatto fin ora; potrà sembrare inconcludente ad una prima occhiata, ma più avanti nel corso torneremo a trattare questo argomento specificamente.

Dato il funzionale azione ampliata:

Sappiamo essere funzione delle traiettorie e dei rispettivi momenti coniugati . Sappiamo anche che, scelte traiettorie e momenti coniugati che soddisfano le equazioni canoniche, questo funzionale resta stazionario. Proprio da questo punto partiamo, per modificare il funzionale in una funzione. Scegliamo, appunto, non traiettorie e arbitrarie, bensì scegliamo proprio quelle che minimizzano l'azione ampliata. A questo punto, non è più un funzionale, ma diventa un numero reale preciso. Tuttavia, questo può essere fatto variare, in particolare rendendolo funzione di diverse variabili. Come variabili particolari scegliamo , ovvero posizioni e tempi iniziali e finali. Ottengo quella che viene definita come funzione principale di Hamilton:

Questa è una funzione di quattro variabili che deriva direttamente dall'azione ampliata: semplicemente, si varia il valore dell'azione ampliata variando posizioni e tempi iniziali e finali. Quali equazioni deve soddisfare questa funzione? Vediamole, variando una ad una le variabili.

Partiamo variando , esprimiamo in funzione di .

Come ci siamo abituati, integriamo per parti il termine :

Le variabili e non sono arbitrarie, sono quelle che minimizzano l'azione ampliata e che rispettano le equazioni canoniche, quindi tutto il termine integrando è identicamente nullo, quindi otteniamo che:

Da questo risultato ottengo già le prime due relazioni:

Adesso facciamo variare ; vediamo l'espressione . Per il teorema fondamentale del calcolo vale:

Un altro modo di esprimere è quello di calcolare la derivata totale:

Utilizzando le espressioni già trovate, avendo , vale:

Ora uguagliamo questa espressione con quella ottenuta sfruttando il teorema fondamentale del calcolo:

Otteniamo quindi la terza espressione:

Ora facciamo variare ; come prima, per il teorema fondamentale del calcolo vale:

Calcolando esplicitamente la derivata totale, invece:

Sfruttando le equazioni prima ottenute , otteniamo:

Uguagliando e due espressioni trovate:

Ottenendo l'ultima espressione cercata: .

Le espressioni che abbiamo ottenuto sono le seguenti e vengono chiamate equazioni di Hamilton-Jacobi:

Queste espressioni ci permettono di studiare l'evoluzione della funzione principale di Hamilton al variare delle sue variabili; come notiamo, per poter conoscere la funzione dobbiamo prima conoscere e , perché sappiamo che queste sono quelle particolari variabili che minimizzano l'azione.

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