Studio macroscopico: polarizzazione magnetica

Procederemo diversamente da quanto fatto per i dielettrici: in quel caso avevamo prima visto lo studio microscopico dei fenomeni elettrici, poi avevamo generalizzato il tutto per passare alle grandezza macroscopiche sperimentalmente osservabili. Qui, invece, lasceremo la parte microscopica alla fine, parlando prima di grandezze macroscopiche.

Polarizzazione magnetica[modifica | modifica wikitesto]

Da questo punto di vista, siamo interessati a ottenere una trattazione simile a quella che abbiamo già avuto per i dielettrici. Quindi, ipotizzando per adesso che la materia, inserita in un campo magnetico esterno, si polarizzi, supponiamo che gli atomi abbiano raggiunto un momento di dipolo magnetico e, sotto l'influsso del campo esterno, avremo una polarizzazione evidente, quindi . Posto questo, possiamo descrivere il materiale utilizzando un campo vettoriale macroscopico che, preso un volumetto , ci dica punto per punto la polarizzazione magnetica all'interno della materia. Lo chiamiamo vettore di polarizzazione magnetica e si può definire come:

Le unità di misura sono:

Se tutti gli atomi si polarizzano, ognuno di questi corrisponderà a essere una "microcorrente"; inoltre, poiché si polarizzano coerentemente, avremo che le correnti si potranno "sommare" tra loro, perché saranno tante correnti tutte nella stessa direzione che forniranno un contributo. Queste, macroscopicamente, generano dei movimenti di carica globali, quindi generano delle correnti macroscopiche; conosciuto , vediamo come possiamo relazionarlo a queste correnti.

Fig 7.1

Consideriamo la figura 7.1: un materiale cilindrico polarizzato; supponiamo sempre nelle nostre discussioni di avere a che fare con materiali omogenei, isotropi e lineari. Trascurando gli effetti termici (supponendo cioè di essere a temperatura ambiente), tutte le piccole spire atomiche avranno un ; se è uniforme, come nel caso della figura, il numero di atomi in un volumetto è sempre uguale, tutto è simmetrico e, quindi, nel volume sono presenti tante correnti che vanno in una direzione e tante che vanno nell'altra: non ci sarà una corrente volumica. Sul bordo del materiale, però, come possiamo notare osservando dall'alto il cilindro, le correnti risultano coerenti, e quindi si formano delle correnti microscopiche di superficie ; si chiamano così perché sono dovute ad effetti microscopici, ma ricordiamo essere macroscopiche. Questa densità di corrente è strana e particolare: non è una corrente su unità di superficie, ma su unità di lunghezza, quindi per ottenere la corrente vera dovremo calcolare:

La corrente totale che circola sulla superficie del cilindro, quindi, sarà (posto che sia alto ). Questo è un chiaro esempio di corrente amperiana, dovuta ad effetti del campo di induzione magnetica sulla materia.

Correnti volumiche e superficiali[modifica | modifica wikitesto]

Quindi, per non abbiamo alcuna corrente volumica, ma è presente una corrente superficiale. Allo steso modo ci aspettiamo che, se non è uniforme, saranno presenti sia correnti di volume che di superficie. La corrente totale microscopica sarà quindi:

Queste due avranno lo stesso ruolo che avevano nei dielettrici le cariche di polarizzazione e . Dobbiamo quindi trovare ciò che lega la polarizzazione magnetica alle correnti. Usiamo lo stesso metodo usato per i dielettrici: consideriamo il nostro materiale polarizzato e calcoliamo il campo generato da un volumetto in un punto dello spazio, e poi sommiamo su tutto il volume; visto che abbiamo introdotto il potenziale vettore, utilizziamo questo (in quanto più comodo). Il volumetto avrà un momento di dipolo , quindi:

Come nel caso dei dielettrici, vogliamo raggiungere un'espressione generale del tipo:

Troveremo in questo modo le espressioni per la corrente di superficie e quella di volume. Per scomporlo, osserviamo che:

Quindi possiamo riscrivere il potenziale del materiale come:

Ricordando l'espressione vettoriale:

Quindi, riscriviamo il potenziale vettore come:

Il primo membro della somma va già bene così; per il secondo, sfruttiamo l'identità di Green:

La dimostriamo nelle appendici, nella sezione dedicata al teorema della divergenza (in quanto diretta conseguenza di questo). Allora possiamo riscrivere il potenziale vettore come:

Allora, ricordando l'espressione generale scritta poco fa, possiamo ricavare le espressioni delle correnti:

Detto questo, abbiamo risolto completamente il problema della magnetostatica nella materia: da queste, come vedremo nella prossima sezione, si possono modificare le equazioni di Maxwell della magnetostica e risolvere tutti i dubbi, proprio come in elettrostatica.

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