Le equazioni di Maxwell nella materia e condizioni di raccordo

Le due equazioni di Maxwell per la magnetostatica

Dovranno essere opportunamente modificate in presenza di materiali, come quando nel caso dell'elettrostatica abbiamo introdotto i dielettrici. In particolare, abbiamo visto come i materiali si polarizzano magneticamente, generando correnti amperiane nella materia. Da questo possiamo subito modificare la quarta equazione di Maxwell:

Dove con indichiamo le diverse correnti amperiane che si formano per polarizzazione. Allo stesso modo, il teorema della circuitazione di Ampere va cambiato:

In queste compaiono termini microscopici che non è scontato che siano noti; poiché è in relazione con la magnetizzazione , se ci mettiamo all'interno del volume, trascurando le superfici, potremo scrivere:

Il campo sia chiama campo magnetico ed è definito come:

Il nome bello di campo magnetico gli è stato attribuito perché è stato il primo campo magnetico ad essere scoperto e studiato: all'inizio si pensava infatti che derivasse da , per cui si è preso il nome di campo di induzione magnetica mentre ha avuto il nome giusto di campo magnetico; poi, come abbiamo visto, si scoprì che in realtà non era così ma, come nel caso della convenzione di Franklin sul nome delle cariche elettriche, è rimasta nella storia questa convenzione di dare i nomi inversi ai campi magnetici (probabilmente avrete notato che queste convenzioni rendono solo la vita difficile, ma a quanto pare sta bene così a tutti).

L'equazione di Maxwell così ottenuta è indipendente dalle caratteristiche della materia e dalle correnti microscopiche, quindi possiamo applicare il teorema della circuitazione di Ampere al campo magnetico:

Per esempio, se applichiamo il teorema di Ampere al solenoide indefinito, esattamente nello stesso modo con cui lo abbiamo applicato per il campo di induzione magnetica, otterremo che:

All'interno di un solenoide e nullo all'esterno. Da questa espressione ricaviamo anche le unità di misura di :

Si indica con ampere-spira su metro l'unità di misura del campo magnetico, ma in realtà l'ampere-spira non è altro che l'ampere con una piccola s sotto, dimensionalmente sono la stessa cosa.

Abbiamo ipotizzato di trovarci nel materiale e non lungo le superfici di separazione tra più materiali per due ragioni: come nei dielettrici, risolveremo questo problema a parte studiando le condizioni di raccordo, e inoltre lungo queste superfici non sono validi ne il teorema della divergenza ne il teorema di Stokes, che dovremo quindi applicare separatamente lungo la zona interessata.

Abbiamo ottenuto quindi le equazioni di Maxwell nella materia:

Come nel caso dell'elettrostatica, abbiamo due equazioni differenziali per due campi diversi, quindi la soluzione non è univoca e unicamente definita. Affinché questo accada, necessitiamo di una relazione tra e ; poiché abbiamo trovato una relazione del tipo , basta trovare una relazione del tipo per risolvere tutti i nostri problemi.

Purtroppo, questa relazione dipende sia dalla classe del materiale che dal materiale stesso, e in questa rientrano tutte le caratteristiche della struttura molecolare della materia. Possiamo descrivere queste relazioni qualitativamente sfruttando i risultati sperimentali ottenuti nei secoli da persone che ci hanno sbattuto la testa prima di noi. Per le sostanze diamagnetiche e paramagnetiche la relazione è lineare:

La costante si chiama suscettività magnetica del materiale e la costante si chiama permeabilità magnetica del mezzo (ricorda nulla?), e possono non essere costanti. Per il vuoto e per l'aria vale e, quindi, : questi non si polarizzano. I due fattori sono dipendenti dalla temperatura, come vedremo. Nella prossima sezione tratteremo separatamente i casi tra diamagneti e paramagneti.

Se, quindi, vale la relazione , possiamo scrivere:

Nel caso abbiamo un solo materiale che riempie lo spazio, le equazioni di Maxwell ci permettono di determinare le soluzioni cercate:

Generalmente, si indica per i diversi materiali.

Condizioni di raccordo[modifica | modifica wikitesto]

Se invece abbiamo più mezzi nello spazio, dobbiamo studiare come nei dielettrici le condizioni di raccordo lungo le superfici di separazione. Avremo le equazioni di Maxwell:

Dove abbiamo considerato che lungo le superfici non circoli corrente macroscopica (i calcoli non variano, ci si porta dietro solo un fattore ). Applichiamo allora, come nel caso dei dielettrici, le formule integrali delle equazioni di Maxwell per ricavare le relazioni tra le componenti tangenti e parallele alle superfici dei due campi. Quindi, come nella figura 4.5, presa una superficie simile applichiamo il teorema di Gauss:

Da cui ricaviamo che le componenti normali del campo di induzione magnetica si conservano, . Applicando l'uguaglianza , otteniamo le condizioni per le componenti normali:

Applicando la versione integrale della quarta equazione di Maxwell, otterremo:

Quindi le componenti tangenti del campo magnetico si conservano, . Sempre applicando la relazione che lega i due campi, otteniamo le condizioni per le componenti parallele alla superficie:

Con queste condizioni si possono creare cose curiose; applicando lo stesso principio della fibra ottica, ovvero prendendo un materiale con (nel caso di alcuni ferromagneti, sotto condizioni specifiche, potremo avere anche ), potremo costruire dei campi paralleli alla superficie di separazione, quindi creare dei "tubi che trasportano il campo magnetico" senza dispersioni.

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