Circuiti magnetici

Funzionamento dei circuiti magnetici[modifica | modifica wikitesto]

L'applicazione diretta della magnetizzazione nei ferromagneti è la creazione di circuiti magnetici. Vediamo come applicarla direttamente. Prendiamo un ciambellone ferromagnetico: necessitiamo di un molto alto in modo che i campi e restino contenuti nel materiale. In questo modo, dalla legge della rifrazione del campo magnetico, possiamo trascurare il flusso disperso e i due campi restano nel ciambellone: questo è un esempio di circuito magnetico, anche se, per ora, non c'è alcun campo magnetico che scorra al suo interno.

Fig. 7.13.

Per ovviare a questo, circondiamo il ciambellone con un solenoide, anche solo per un tratto; applicando il teorema di circuitazione di Ampere a una curva inclusa nel circuito (figura 7.13), avremo:

Da cui otteniamo il campo che circola nel materiale, . A questo si associa un campo , che ci è dato dalla curva di isteresi; essendo simmetrica, avremo da dover scegliere tra due valori di , e la scelta ci è data dalla storia del ferromagnete usato per creare il circuito.

Abbiamo quindi creato un bellissimo circuito magnetico che contiene al suo interno i campi magnetici, mentre all'esterno questi sono nulli. Ma bravi, che bello schifo di magnete, come facciamo a sfruttare il campo magnete per magnetizzare una persona in questo modo? Per ovviare a questo problema, dobbiamo creare un traferro molto piccolo, di dimensioni , il più piccolo possibile così che il flusso disperso possa ancora considerarsi trascurabile. Ci aspettiamo che per un taglietto così piccolo il campo non vari poi di tanto: non è vero, il campo varia tantissimo, ma davvero tanto. Riapplicando il teorema di Ampere al nuovo circuito col traferro, avremo:

Dove con abbiamo indicato il campo magnetico nel vuoto che c'è nel traferro. Poiché , possiamo approssimare ; nel vuoto i campi sono legati dalla relazione , e quindi ottenere:

Fig. 7.14.

Il traferro è ortogonale alla direzione di (figura 7.14); per le condizioni di raccordo, avremo , quindi . Riordinando le cose, possimo esprimere il campo di induzione magnetica in funzione del campo magnetico:

Questo è un comportamento lineare: nel piano rappresenta una retta che interseca la curva di isteresi in due punti (figura 7.15). Queste intersezioni ci forniscono i campi e . I campi, dopo aver inserito il traferro, cambiano. Quanto pesa il traferro sulla variazione dei campi? Facciamo un esempio: consideriamo , possiamo scrivere , applicandolo alla relazione precedente:

Fig. 7.15.

Da cui ricaviamo per via algebrica : è come sei il circuito si fosse allungo di . I campi dopo il traferro sono allora:

In pratica, se la permeabilità del materiale è molto grande, il traferro avrà un peso notevole nell'economia dei campi. Se consideriamo , e , la lunghezza equivalente del circuito dopo il traferro è , cioè ben 10 metri di più su un traferro di un solo centimetro! I campi decrescono di mille volte con un traferro piccolissimo: questo ci dice anche che, per avere campi molto intensi, abbiamo bisogno di volumi molto piccoli.

Se adesso spegniamo il generatore collegato al solenoide, quindi togliamo la corrente, riapplicando Ampere avremo , ovvero:

Fig. 7.16.

In pratica, il campo residuo si è abbassato, ovvero , mentre è diventato negativo (figura 7.16). Osserviamo che, nel traferro, i campi hanno lo stesso verso, ma nel materiale hanno verso opposto: questo non deve sorprendere, perché la circuitazione deve venire nulla, quindi in un tratto il campo deve cambiare verso.

Teoria dei circuiti magnetici:la legge di Hopkinson[modifica | modifica wikitesto]

Reinserendo la corrente nel solenoide, avremo di nuovo una circuitazione non nulla del campo magnetico. Questa viene chiamata forza magnetomotrice:

Se abbiamo un grande, abbiamo detto di poter trascurare il flusso disperso; quindi, in buona approssimazione, possiamo dire che il flusso di lungo il circuito è costante e, se la superficie del circuito è piccola, approssimarlo come ; nell'espressione della forza magnetomotrice, sostituendo avremo:

L'integrale dipende solo dalla geometria del circuito e da costanti, e viene chiamato riluttanza del circuito magnetico. Rimettendo in ordine i pezzi, otteniamo la legge di Hopkinson:

Ricorda nulla? È vagamente simile alla legge di Ohm, in più, osserviamo le seguenti equazioni: a sinistra abbiamo le equazione dei circuiti magnetici, a destra quelle degli ohmici:

Le equazioni che generano la legge di Hopkinson sono le stesse che generano la legge di Ohm, a meno di chiamare le grandezze in gioco in modo diverso. Questo ci da un'informazione cruciale: risolvere un circuito magnetico è come risolvere un circuito ohmico: le resistenze in serie si sommano, il flusso si mantiene costante eccetera. Non sarà un problema, quindi, risolvere i circuiti magnetici in cui è costante: infatti, in tutto questo, abbiamo inteso che lo fosse. Però può capitare che non lo sia: in questi casi non si può sfruttare la legge di Hopkinson ma bisogna risolvere il problema per via grafica, trovando l'espressione lineare che lega a e intersecarla con la curva di isteresi, che deve essere data affinché si possa risolvere (vedremo tra poco un esempio simile).

Esempio (7.2)

Consideriamo un ferromagnete toroidale, di sezione circolare pari a , con ; lungo tutta la sua lunghezza è avvolto da un solenoide di spire e percorso da corrente stazionaria . In questo ferromagnete è stato tagliato un traferro di lunghezza , vogliamo trovare i campi , il flusso concatenato al solenoide e le correnti microscopiche.

Poiché , possiamo risolvere analiticamente il problema. Applicando il teorema della circuitazione di Ampere, ricaviamo quello che abbiamo già visto in questa sezione, ovvero:

Da questa ricaviamo i campi magnetici nel materiale e nel traferro:

Per la magnetizzazione, possiamo applicare la formula e otterremo (si ricorda che nel vuoto ):

Potevamo risolvere il circuito anche applicando Hopkins, schematizzando il circuito come se fosse composto da due riluttanze: una, , equivalente a quella del ciambellone senza traferro, e una, equivalente alla riluttanza del traferro. Queste saranno:

Invertiamo la legge di Hopkins per calcolare il flusso:

Osserviamo che da questo risultato, se calcoliamo otteniamo esattamente il valore già prima calcolato.

Il flusso concatenato col solenoide è banale: basta calcolare il flusso di su una spira e moltiplicarlo per il numero di spire. Poiché il campo è sempre ortogonale alle spire, otterremo:

Per le correnti microscopiche, osserviamo che , quindi non avremo una corrente microscopica di volume. Lo stesso non si può dire di quella superficiale, che sarà:

Quindi la corrente è semplicemente , e si avvolge nella direzione della magnetizzazione, sfruttando la regola della mano destra.

 
Esempio (7.3)
Fig. 7.17: il circuito dell'esempio 7.3, con relativo ciclo di isteresi.

Consideriamo un sistema con variabile. Facciamo riferimento alla figura 7.17: abbiamo una lastra prismatica di sezione e lunghezza già magnetizzata con , a cui sono aggiunte due ancore di ferro dolce con , entrambe di sezione . Non ci viene fornita la lunghezza delle ancore, ma ci viene data la lunghezza della distanza tra loro , nel vuoto. Si chiede di calcolare il punto di lavoro del circuito, ovvero il campo nel traferro. Viene anche fornita la curva di isteresi delle ancore.

Poiché non c'è corrente, avremo , che possiamo esprimere come:

Il campo è perpendicolare alle superfici di separazione, per le condizioni di raccordo ricaviamo il campo nelle due ancore, pari a . Poiché abbiamo detto che , possiamo trascurare questo contributo dalla circuitazione, e avremo:

La sezione è variabile, ma i circuiti magnetici, per quanto abbiamo detto, mantengono costante il flusso del campo ovunque, quindi , da cui otteniamo che , andando a sostituire avremo:

Otteniamo quindi la retta di :

Questa è una retta a pendenza negativa nel piano dell'isteresi; tuttavia, il piano ci viene dato in , quindi dobbiamo passare alla magnetizzazione tramite la relazione :

A questo punto dobbiamo trovare il punto di lavoro per via grafica, dobbiamo trovare le intersezioni tra questa retta e il ciclo di isteresi. Osserviamo che questi si incontrano nel secondo quadrante, quindi basterà parametrizzare il tratto rettilineo del ciclo in questo quadrante, che ha equazione (il calcolo della retta passante per i due punti, almeno questo, fatecelo risparmiare); andando a sostituire , otteniamo:

Dopo aver ricavato possiamo calcolare il punto di lavoro come .

 
L'ultimo esempio è una perfetta descrizione di come vengono creati dei magneti permanenti. Inoltre, si noti che nel circuito non scorre corrente, ma il campo magnetico è tutto generato dalla lastra prismatica e, tramite le due ancore, lo convogliamo tutto in un punto, sfruttando al massimo la magnetizzazione del materiale.
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