Prima equazione di Laplace e calcoli di campi magnetici

Dopo aver risposto alla domanda "Come si misurano i campi magnetici?" illustrando l'effetto Hall, passiamo a rispondere a un'altra domanda, più importante: come si calcolano i campi magnetici?

Fig. 6.4

Altrove nota come legge di Biot-Savart (che in realtà tratteremo nel successivo esempio), la prima equazione di Laplace, o formula di Laplace, esprime come calcolare matematicamente il campo magnetico generato da un circuito percorso da corrente in ogni punto dello spazio. Facendo riferimento alla figura 6.4, chiamato l'elemento di circuito orientato come la corrente che vi circola, questo è identificato dal vettore rispetto a un sistema di riferimento scelto; preso allora un punto identificato dal vettore , posto il vettore che unisce l'elemento al punto , il campo generato da questo elementino nel punto considerato sarà:

Poiché vale il principio di sovrapposizione, otteniamo il campo magnetico generato da un circuito in tutto lo spazio:

La corrente resta sotto il segno di integrale perché non è detto che sia stazionaria; se lo è, allora è possibile portarla fuori dal segno di integrale. Qualora non fosse così, potremo sempre esprimerla attraverso la relazione ; posto quindi il volume il volume del circuito, il campo magnetico può essere calcolato come:

La costante indica la costante di accoppiamento magnetica, e ricopre lo stesso ruolo che ricopriva in elettrostatica. Essa si chiama permeabilità magnetica del vuoto e vale:

Come nel caso del campo elettrico, quindi, possiamo conoscere il campo magnetico, a meno di riuscire a calcolare questi integrali, che a volte non sono proprio così semplici. Tuttavia, nella discussione che segue, vedremo diverse strade per riuscire a calcolare il campo magnetico, attraverso altri espedienti. Per ora, limitiamoci ad applicare questa "definizione" e a calcolare campi magnetici di particolari distribuzioni: vista la difficoltà del caso, tratteremo due esempi molto semplici e simmetrici.

Fig. 6.5: il filo indefinito è posizionato sull'asse
Esempio (6.1 Legge di Biot-Savart)

La legge di Biot-Savart esprime il campo magnetico generato da un filo indefinitamente lungo, di lunghezza approssimabile a infinito, attraversato da una corrente stazionaria. Tutti i riferimenti sono fatti rispetto la figura 6.5. Il calcolo sarà banale una volta che avremo visto il teorema di circuitazione di Ampere, ma ora dobbiamo applicare la legge di Laplace; preso un elemento , avremo che questo genera in un punto qualsiasi dello spazio un campo:

Prendiamo un punto sull'asse : osserviamo che tutti i punti appartenenti alla circonferenza di raggio sono alla stessa distanza dall'elemento , quindi il campo avrà modulo uguale su tutta la circonferenza; per quanto riguarda il verso, sarà tangente a questa, quindi chiamiamo il versore tangente alla circonferenza, e avremo:

Quindi, il campo in tutto lo spazio sarà dato da:

Scriviamo tutto il funzione dell'angolo : questo è legato all'angolo dalla relazione . Quindi sarà . Potremo scrivere:

Dalla prima di queste due otteniamo anche che , mentre dal rapporto differenziato otteniamo . Andando a sostituire:

Risolvendo il banale integrale otteniamo la legge di Biot-Savart:

 
Esempio (6.2 Campo generato da una spira)
Fig. 6.6

Vediamo il campo magnetico generato da una spira circolare; per spira si intende qualsiasi circuito chiuso, quindi consideriamo come in figura 6.6 una spira circolare di raggio . Calcoleremo il campo sui punti dell'asse di simmetria.

Un qualsiasi elemento di circuito genere un campo elettrico pari a

Per simmetria cilindrica, possiamo notare come i punti sull'asse percepiscono un campo magnetico diretto lungo l'asse: per ogni elemento che genera un campo, ne esiste uno simmetrico rispetto all'asse che annulla qualsiasi componente che non sia . Possiamo quindi porre . Osserviamo anche che i vettori e siano ortogonali tra loro, quindi il loro prodotto vettoriale è il prodotto dei loro moduli. Quindi avremo:

Integrando su tutto il circuito:

Questo è il risultato, che però è bruttino. Possiamo riscrivere un po' di cose, ad esempio porre e cambiare le espressioni da a , ricordando che , ovvero e quindi esprimere . Allora potremo anche esprimere , da cui ricaviamo . Così facendo, il nostro campo diventa:

Se moltiplichiamo e dividiamo per , al numeratore otterremo un fattore , dove è la superficie della spira. Definito allora momento magnetico della spira la grandezza:

Dove è la normale alla superficie orientata con la regola della mano destra: le dita si chiudono nella direzione della corrente e il pollice indica il verso della normale. L'unità di misura è:

Utilizzando questa definizione, il campo assume un'espressione più elegante e meglio nota (sarà questa a cui faremo riferimenti successivamente):

Osserviamo che, se ci poniamo a grande distanza dalla spira, restando sull'asse, ovvero nella condizione , questo diventa:

Ricorda nulla? Nella sezione 3.1 parlammo di dipoli elettrici, e il campo che un dipolo elettrico genera a grande distanza sull'asse è proprio:

Quindi, una spira a grande distanza si comporta come un dipolo elettrico. Questo viene anche chiamato teorema di equivalenza di Ampere, e lo vedremo più in là.

 
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