La quarta equazione di Maxwell e il teorema di circuitazione di Ampere

Passiamo quindi a calcolare il rotore di , ovvero la quarta equazione di Maxwell; prima di discutere il calcolo, ragioniamo su ciò che abbiamo: la divergenza è nulla. Ne concludiamo che il rotore deve necessariamente essere diverso da zero, altrimenti avremmo a che fare o con un campo idiota o con un campo inesprimibile, introvabile (e quindi inesistente) che però ha effetti sperimentali sugli oggetti. Se fosse, infatti, anche il rotore nullo, non potremmo ne dire cosa e dove sono le sorgenti del campo ma neanche studiarne le proprietà, che però abbiamo e stiamo continuando a fare (trovandoci nella scomoda posizione di costruire un tetto per una casa che non esiste).

Per quanto possa sembrare strano, ci sono tanti modi diversi per calcolare il rotore di . Ne vediamo due: il primo è un calcolo diretto, usando la formula di Laplace, il secondo sfrutta il potenziale vettore, un po' più articolato ma, generalmente, più utilizzato.

Calcolo diretto del rotore[modifica | modifica wikitesto]

Partiamo dalla formula di Laplace espressa in termini di densità di corrente elettrica:

Calcoliamo esplicitamente il rotore. Saltiamo un passaggio, portando l'operatore rotore sotto il segno di integrale sempre per la solita storia che agiscono su variabili diverse, ci troveremo a dover quindi calcolare:

Usando la nota espressione per il doppio prodotto vettoriale , possiamo scrivere:

Il secondo termine è nullo perché l'operatore nabla agisce su variabili pure, mentre la densità di corrente dipende dalle variabili primate. Per quanto riguarda il primo termine, osserviamo che:

Quindi, ricordando la definizione di delta di Dirac, osserviamo che è proprio la delta di Dirac, e vale quindi:

Riportando tutto sotto il segno di integrale, otteniamo:

Questa è la quarta equazione di Maxwell nel caso statico.

Calcolo del rotore sfruttando il potenziale vettore[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo scrivere , quindi per calcolare il rotore dovremo calcolare il rotore del rotore di , ovvero:

Partiamo dalla divergenza di ; possiamo calcolarla in due modi: un modo classico, ovvero procedere con i conti, oppure utilizzare un metodo moderno, ovvero sfruttare delle particolari trasformazioni, chiamate trasformazione di gauge: queste trasformazioni, largamente utilizzate nella teoria dell'interazione nucleare forte (che permettono uno sviluppo teorico molto elegante, semplice e soprattutto comodo), sono trasformazioni tali da mantenere inalterata la lagrangiana di un sistema: in pratica cambia il modo matematico con cui descriviamo la fisica, ma la fisica resta la stessa. Infatti, possiamo trasformare in un altro campo , scrivendo , dove è un qualunque campo scalare a nostra discrezione. Osserviamo che effettuando questa trasformazione il campo di induzione magnetica resta lo stesso:

Allora, se possiamo scegliere a piacere, ne prendiamo uno tale che . Perché questo? Perché se calcoliamo adesso la divergenza:

Ovvero la divergenza del potenziale vettore è nulla. Poiché queste trasformazioni sembrano un po' un imbroglio (non lo sono, la matematica può servire anche per il bene e per diminuire i calcoli, non solo per allungarli a dismisura), calcoliamola anche direttamente, per convincere chiunque. Sfruttando l'espressione del potenziale vettore trovata nella precedente sezione, ci troviamo a dover calcolare:

Sfruttiamo la relazione:

Il secondo termine è nullo perché operatore nabla e densità di corrente agiscono su variabili diverse. Sul primo membro possiamo invece osservare questo particolare:

Perché questo? Ricordiamo che , quindi la divergenza sulle variabili pure è uguale alla divergenza sulle variabili primate a parte il segno meno, che ci si porta dietro proprio da questa differenza. Allora, passiamo tutto in divergenza primata:

Il secondo membro è ancora nullo perché ci troviamo in regime stazionario, e vale quindi l'equazione di continuità secondo cui ; poiché ora sia il nabla che la densità di corrente dipendono dalle stesse variabili, questa equazione ha senso essere nulla. Quindi, la divergenza del potenziale vettore può essere espressa come:

Questo lo trasformiamo in un integrale di superficie in virtù del teorema della divergenza:

Dove è il bordo del volume . Il volume , però, è il volume che contiene il circuito, qualsiasi circuito che contiene il circuito. Quindi se ne prendiamo uno anche solo leggermente più ampio del circuito, risulta essere sul suo bordo nulla la densità di corrente , quindi l'integrale di superficie sarà, di conseguenza sarà nulla la divergenza di .

Quindi, dobbiamo calcolare solo il laplaciano di per avere il rotore del campo di induzione magnetica. Ma questo ha una forma che abbiamo già visto poco fa:

Osservando che non dipende dalle variabili pure, questo può essere escluso dall'operatore laplaciano. In sintesi dobbiamo calcolare , ma questo, come abbiamo già visto nel calcolo del rotore esplicito, corrisponde alla delta di Dirac; l'utilizzo della delta di Dirac è un metodo moderno, di molto posteriore al calcolo classico di Maxwell, che proponiamo in ogni caso nelle appendici. Quindi, utilizzando la delta, avremo:

Concordemente a quanto calcolato esplicitamente, quindi, la quarta equazione di Maxwell nel caso statico è:

Come ci aspettavamo, non è nullo il rotore di , quindi non è conservativo; inoltre, da questa ricaviamo anche un'informazione che già sapevano, dall'intuizione di Ampere, ma mancavamo di confermare: la corrente elettrica è la sorgente del campo magnetico di induzione. Inoltre, possiamo ricavare anche la stazionarietà della corrente da questa equazione, ovvero ricavare l'equazione di continuità:

Per i più accorti, risulterà evidente che, nel caso dinamico, questa legge non sarà più valida: in un passaggio abbiamo infatti supposto essere la corrente stazionaria, quindi quando questa non lo sarà più, otterremo qualcosa di leggermente diverso.

Il teorema di circuitazione di Ampere[modifica | modifica wikitesto]

Dalla quarta equazione di Maxwell si ricava direttamente il teorema di circuitazione di Ampere, che svolge in magnetostatica lo stesso ruolo del teorema di Gauss nell'elettrostatica, ovvero permette di ricavare il campo magnetico di complicate configurazioni di correnti. Consideriamo una curva e una qualsiasi superficie che si appoggi a questa (risulterà che è il contorno della superficie), se volessimo il flusso del rotore di abbiamo due strade:

Nel primo passaggio abbiamo applicato il teorema di Stokes, nel secondo la quarta equazione di Maxwell. L'espressione è un calcolo molto semplice: stiamo sommando correnti, in particolare sommiamo le correnti concatenate al circuito; se ci sono più correnti, infatti, possiamo espandere l'integrale:

Fig. 6.7: esempi di correnti concatenate o meno con un circuito.

Cosa si intende per concatenate? Quando si parla di correnti concatenate, si intendono quelle correnti che, se prendiamo gli estremi del filo e lo tiriamo, restano "intrappolate" nel circuito. Facciamo riferimento alla figura 6.7. In questa figura, le correnti e non sono concatenate: la prima non passa nella curva considerata, la seconda invece passa due volte con verso opposto, quindi si annulla. Allo stesso modo, possiamo calcolare per questo caso l'integrale delle correnti:

La corrente attraversa la curva con verso opposto rispetto alla normale di riferimento, quindi ha segno negativo; la corrente, invece, si arrotola sul circuito e attraversa, con lo stesso verso, tre volte la superficie costruita sul circuito. Questo vuol dire che ogni elemento della sommatoria va moltiplicato per il numero di volte che attraversa il circuito, ovvero per il grado di concatenazione della corrente. In sintesi, possiamo esprimere il teorema di circuitazione di Ampere come:

Quindi, data una configurazione strana di fili attraversati da corrente, si può ricavare facilmente il campo magnetico che questi generano calcolando la circuitazione del campo lungo una linea con cui sappiamo lavorare facilmente: come per il teorema di Gauss si usavano le superfici gaussiane, qui andremo a usare le curve amperiane.

Applicazioni del teorema di circuitazione di Ampere[modifica | modifica wikitesto]

Vediamo due applicazioni del teorema di circuitazione; prima vediamo come ricavare banalmente la legge di Biot-Savart. Prendiamo il filo infinito con una corrente stazionaria: questo ha simmetria cilindrica, quindi una circonferenza centrata nel filo è la curva perfetta per poter calcolare la circuitazione. Infatti, per simmetria cilindrica, tutti i punti di questa sono alla stessa distanza dal centro e il campo magnetico è sempre ortogonale ad essa, quindi:

Da questa ricaviamo banalmente la legge dio Biot-Savart.

Esempio (6.3 Campo di un solenoide indefinito)
Fig. 6.8

Un solenoide è un dispositivo che consiste in un filo arrotolato (di varie forme, di solito cilindrico) e molto stretto, in modo che si posso approssimare come tante spire in successione. Ovviamente, nella realtà questo presenta un piccolo passo (è un'elica che cerca di venire schiacciata il più possibile), ma possiamo trascurarlo. Consideriamo un solenoide di lunghezza indefinita e calcoliamo il campo lungo il suo asse (tutti i riferimenti sono presi dalla figura 6.8).

Per simmetria cilindrica, il campo avrà solo componente lungo l'asse; poiché è di lunghezza indefinita, il campo sarà anche indipendente dalla posizione sull'asse. Inoltre, dovrà essere uniforme dentro e fuori dal solenoide.

Consideriamo tre diverse curve come in figura. Osserviamo che, lungo , l'integrale perché non ci sono correnti concatenate, e possiamo prendere questa curva dall'esterno del solenoide fino all'infinito. Quindi, il campo all'esterno è totalmente nullo.

Invece, se calcoliamo la circuitazione lungo la curva , avremo:

Quindi il campo è uniforme all'interno del solenoide. Infine, calcolando allora l'integrale sulla curva , in cui passano spire, avremo:

Dove con si indica il numero di spire per unità di lunghezza del solenoide.

 
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