L'equazione fondamentale della magnetostatica

Potenziale scalare e potenziale vettore[modifica | modifica wikitesto]

Come nel caso dell'elettrostatica, abbiamo trovato le due equazioni di Maxwell per la magnetostatica:

In elettrostatica, poiché avevamo a che fare con un campo conservativo, abbiamo potuto definire un potenziale scalare tramite cui si poteva risalire al campo elettrico calcolandone il gradiente . Allo stesso modo, potremmo supporre conservativo, la cosa non è così strana, alla fine: è vero che il rotore non è nullo, ma lì dove è nulla la corrente, risulta esserlo. Quindi, in queste zone di spazio si potrebbe definire un potenziale magnetico scalare legato al campo di induzione tramite l'equazione ; affinché ciò possa essere fatto, il dominio in cui è definito il potenziale deve essere semplicemente connesso, e non è proprio così scontato che lo sia. In ogni caso, ricavato il potenziale scalare, il problema diventa simile ai problemi di elettrostatica finora trattati: si calcola il gradiente del potenziale per ottenere il campo magnetico.

Tuttavia, questo sviluppo matematico è solo ciò che sembra essere: uno sviluppo matematico. Nonostante sia a volte utilizzato nella pratica per calcolare i campi magnetici di zone in cui non sono presenti correnti, questo metodo non ha applicazioni nella teoria, quindi non risulta essere proprio così utile.

Inutile invece non è lo sviluppo della teoria sfruttando il potenziale vettore , che abbiamo determinato dopo aver confermato che è un campo solenoidale, e lo è sempre. La comodità del potenziale vettore sta nel fatto che non è univocamente determinato: l'unica equazione che deve risolvere, ovvero l'unico vincolo che poniamo, è che , non ci sono restrizioni sulla sua divergenza. Parlando del rotore di abbiamo visto come questa libertà di scelta ci ha permesso di determinare un potenziale vettore a divergenza nulla, ma non è l'unico modo per poterlo determinare. La cosa fondamentale, e centrale in tutto il nostro discorso, è che qualsiasi gioco facciamo con , questo non altera il campo , tanto che deve essere sempre vero per come lo abbiamo definito. Quindi, cambia la matematica, cambia la trattazione teorica degli elementi in gioco, ma la fisica non cambia: questo è il succo delle trasformazioni di gauge. Una trasformazione come quella che abbiamo sfruttato nella sezione 6.6 viene comunemente chiamata gauge coulombiana. In questa, abbiamo preso un potenziale scalare il cui laplaciano fosse la divergenza del potenziale vettore, ovvero . C'è un'analogia non banale tra questa equazione e l'equazione di Poisson:

A tutti gli effetti, essendo uno scalare, queste due equazioni sono identiche. E a equazioni identiche corrispondono soluzioni identiche, quindi ha senso scrivere:

L'espressione del potenziale scalare, sotto la gauge coulombiana, è formalmente identica al potenziale elettrico.

L'equazione della magnetostatica[modifica | modifica wikitesto]

La potenza del potenziale vettore sta anche nella sua pratica utilità: come abbiamo fatto per il potenziale elettrico, a partire dalle due equazioni di Maxwell possiamo ottenere un'unica equazione differenziale in termini di :

Legando queste due equazioni otteniamo l'equazione fondamentale della magnetostatica:

Sotto la gauge coulombiana, il potenziale vettore è un campo solenoidale a divergenza nulla. In pratica, sotto queste condizioni, possiamo scrivere:

Questa sembra essere formalmente identica all'equazione di Poisson, tuttavia questo è un sistema di tre equazioni lungo le tre coordinate cartesiane:

Queste tre equazioni di Poisson sono identiche all'equazione di Poisson dell'elettrostatica (la ripetizione del nome è volontaria), quindi la soluzione è identica, ovvero possiamo esprimere il potenziale vettore in termini della sua sorgente così come per il potenziale elettrico:

Lo avevamo già calcolato espressamente, ma questo discorso dimostra come avremmo potuto evitare il calcolo esplicito del potenziale vettore semplicemente ragionando sulle analogie tra magnetostatica e elettrostatica. Inoltre, questa formulazione può essere ancora modificata: chiamato il volume del circuito, possiamo porre , dove è la superficie del circuito. Allora, l'espressione:

Dove è orientato come la corrente . Posto questo, l'espressione del potenziale vettore diventa:

Osserviamo questa formula: è un integrale molto semplice da calcolare, una semplice circuitazione. È quindi immediato osservare che calcolare risulta molto più semplice che calcolare . Tuttavia, per passare poi al campo magnetico di induzione dobbiamo calcolare il rotore di , e questo non è assicurato che sia semplicissimo. Quindi, la difficoltà intrinseca del magnetismo sta nella presenza di prodotti vettoriali e conseguenti rotori ricorrenti: se nell'elettrostatica bastava calcolare un gradiente per ottenere il campo elettrico, qui tocca calcolare un rotore, quindi vanno fatti più calcoli.

Giustificazione dell'equazione di Laplace[modifica | modifica wikitesto]

Da questa espressione del potenziale vettore possiamo anche giustificare la prima equazione di Laplace, che avevamo "lanciato" sul tavolo annunciandola come una legge sperimentale senza giustificazioni teoriche. Prendiamo un elementino percorso da corrente stazionaria , il potenziale vettore che questo genera su un punto dello spazio è dato da:

Di conseguenza, il campo di induzione magnetica generato da questo sarà:

Applicando la formula , avremo:

Osservando che perché l'operatore nabla agisce su variabili pure mentre l'elementino dipende da variabili primate, otterremo:

Quindi, tornando al campo magnetico, otterremo:

Applicando quindi il principio di sovrapposizione, otterremo la prima equazione di Laplace:

L'ultima cosa, fondamentale, per cui possiamo sfruttare il potenziale vettore è per calcolare il flusso del campo magnetico, applicando il teorema di Stokes:

Quindi anche il flusso di risulta essere molto semplice da calcolare sfruttando la relazione:

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