Azioni meccaniche su circuiti e teorema di equivalenza di Ampere

Come si comporta un circuito percorso da corrente se immerso in un campo magnetico di induzione esterno? In questo capitolo analizzeremo bene la situazione e osserveremo come, alla fine, qualsiasi circuito si comporti come una spira dotata di momento di dipolo magnetico.

Azioni meccaniche sui circuiti[modifica | modifica wikitesto]

Prendiamo un circuito e un campo esterno. L'elementino del circuito risente una forza, per la seconda equazione di Laplace, pari a:

Se il circuito è rigido, ovvero non si deforma sotto forze esterno, potremo integrare su tutta la sua lunghezza ottenendo la forza subita:

(qui consideriamo correnti stazionarie che possiamo escludere dall'operazione di integrazione). Nella realtà, questo passaggio non si può fare: non esistono in alcun modo correnti stazionarie e continue. Infatti, come vedremo, ogni circuito si autoinduce, portando a variare la propria corrente di conseguenza. In ogni caso, se questa formula è vera, possiamo anche calcolare il momento subito dal circuito a causa della forza; posto il vettore distanza dell'elementino da un polo scelto, avremo:

Queste due espressioni valgono per qualsiasi tipo di circuito rigido. Vediamo alcuni casi particolari: ad esempio, se il campo esterno è costane, il circuito non subisce forze, esattamente come nel caso del dipolo elettrico:

Ricordiamo che la circuitazione è sempre nulla. Vediamo ora l'espressione della forza e del momento per una spira, partendo da un esempio.

Esempio (6.4)
Fig. 6.9: la spira dell'esempio 6.4, con vista frontale e dall'alto.

Consideriamo la spira rettangolare in figura 6.9, di lati con . La normale a questa spira forma un angolo con il campo magnetico esterno, che consideriamo uniforme in tutto lo spazio. Quindi, su tutti e quattro i lati della spira sarà uniforme.

Se la spira è rigida e non si deforma, la forza sui lati 1 e 3 è uguale e opposta, con braccio nullo (considerare la visuale dall'alto); invece, sui lati 2 e 4 è presente una coppia di forze che produce un momento; la forza sarà:

In quanto i vettori e sono ortogonali. La coppia di forze imprime una rotazione nella spira che la induce a ruotare nella direzione che massimizza il flusso del campo: come vedremo, questo corrisponde a minimizzare l'energia. Il momento è:

Sostituendo in questa il modulo della forza, ricordando che il prodotto è la superficie della spira, otterremo:

Dove con indichiamo il momento di dipolo magnetico della spira. Osserviamo che quello è proprio un prodotto vettoriale, quindi possiamo esprimere il momento come:

Il comportamento è proprio identico al dipolo elettrico.

 

Il teorema di equivalenza di Ampere[modifica | modifica wikitesto]

L'esempio 6.4 appena presentato apre il discorso a quello che è noto come teorema di equivalenza di Ampere, in sintesi riassumibile in una frase: il campo magnetico generato da una spira a grande distanza ha lo stesso comportamento e la stessa formulazione del campo elettrico generato da un dipolo elettrico a grande distanza. In pratica, una spira si comporta come un dipolo elettrico. Dimostriamolo per un circuito qualunque, partendo da considerazioni energetiche e sfruttando, come nel caso del condensatore, il principio dei lavori virtuali.

Fig. 6.10: lo spostamento virtuale fa sì che il circuito tagli una superficie a sinistra (in azzurro), mentre la superficie del circuito si sposta.

Facciamo riferimento alla figura 6.10; applichiamo al circuito uno spostamento virtuale , in cui la forza esterna che compie lo spostamento è equilibrata istante per istante dalla forza magnetica che agisce sul circuito, ovvero:

Poiché la forza esterna, come abbiamo appena detto, non provoca variazione di energia cinetica, il lavoro compiuto è uguale alla differenza di energia potenziale meccanica del sistema: non parliamo di energia magnetostatica, dovuta a un generatore che mantiene costante la corrente, ma siamo interessati solo alle sollecitazioni meccaniche. Quindi:

Possiamo scrivere il prodotto misto in un altro modo: , andando a sostituire:

Fig. 6.11: l'area creata dal prodotto vettoriale tra e

Il vettore è il vettore ortogonale a entrambi avente come modulo l'area del parallelogramma che formano i due vettori (figura 6.11), che possiamo scrivere come , quindi:

Quindi, concludendo, avremo:

Il flusso viene chiamato flusso tagliato ed è il flusso attraverso la superficie tagliata la circuito durante lo spostamento, ovvero la superficie in azzurro nella figura 6.10. Questo flusso possiamo esprimerlo in funzione del flusso attraverso la superficie del circuito: poiché, infatti, è solenoidale, il flusso attraverso qualsiasi superficie chiusa è nullo. Se consideriamo la superficie formata dal circuito prima e dopo lo spostamento, unita a quella che sta intorno (ovvero la superficie tagliata), risulta una superficie chiusa, quindi il flusso attraverso essa è nullo. Chiamata questa superficie chiusa, la superficie del circuito prima dello spostamento, quella del circuito dopo lo spostamento e quella che le circonda, avremo:

Poiché il flusso sulle superfici prima e dopo lo spostamento cambia segno (perché la normale alla superficie cambia verso), possiamo scrivere:

Ovvero il flusso tagliato è uguale alla variazione di flusso concatenato al circuito, cambiata di segno. Ricordiamo che la superficie del circuito, per via dello spostamento, può sia variare (perché il circuito non è rigido e stiamo considerando il caso generale dove può non esserlo) che cambiare angolazione con il campo esterno, e quindi il suo flusso ha diversi modi per variare. Possiamo in sintesi concludere:

Osserviamo quello che avevamo già introdotto nell'esempio 6.4: il momento della forza porterà il sistema a minima energia, ovvero tenderà a massimizzare il flusso. Se la spira è piccola, e quando ci troviamo a grande distanza qualsiasi circuito è una piccola spira, possiamo considerare uniforme attraverso il circuito (rispetto alle variazioni spaziali che si risentono a grande distanza) e quindi esprimere il flusso esplicitamente:

Riguardando indietro alla sezione 3.1, questa energia è identica a quella del dipolo elettrico (sostituendo il momento di dipolo elettrico con quello magnetico e lo stesso col campo considerato). Quindi la forza e il momento saranno come in quel caso: risparmiando i calcoli, avremo:

Abbiamo concluso la prima parte del teorema: un circuito a grande distanza si comporta come un dipolo elettrico. Ora dobbiamo vedere che il circuito a grande distanza genera un campo magnetico formalmente uguale al campo generato dal dipolo elettrico a grande distanza.

Prendiamo una piccola spira con momento di dipolo magnetico orientato con l'asse : e calcoliamo il campo molto lontano in un punto . Preso orientato definito dal vettore , applichiamo l'equazione di Laplace, sfruttando il potenziale vettore.

Sfruttiamo allora la stessa tecnica dello sviluppo in multipoli del potenziale elettrico: poniamoci a :

Trascurando i termini di secondo ordine (trascuriamo , esprimendo , avremo:

Tornando al potenziale vettore:

Il primo termine è nullo (la circuitazione di è sempre nulla), quindi solo il secondo da contributo. Sfruttiamo allora la seguente identità di Green derivante dal teorema di Stokes:

Nel nostro caso dipende dalle variabili primate, quindi avremo la relazione:

Osserviamo che:

Riordinando le idee, potremo scrivere:

Tornando al potenziale vettore, potrà essere scritto come:

Questo è formalmente identico al potenziale elettrico di dipolo elettrico; per ottenere allora il campo magnetico generato, dovremo calcolare il rotore del potenziale vettore. Tralasciando i calcoli che forniamo nelle appendici, questo è, lo ripetiamo ancora, identico al campo elettrico generato dal dipolo elettrico:

Risulta quindi dimostrato il teorema di Ampere.

Mutua induzione: più circuiti nello spazio[modifica | modifica wikitesto]

Fig. 6.12

Cosa accade, allora, se abbiamo due o più circuiti nello spazio? Ognuno di questi genera un campo magnetico nello spazio, che ha effetti rilevanti sugli altri, i quali a loro volta modificano il campo esterno e così via. Le cose sono quindi complicate, e se ci aggiungiamo che ogni circuito induce se stesso lo diventano ancora di più. Consideriamo un caso semplice: due circuiti nello spazio (figura 6.12); presi due elementini sui circuiti e , posto il vettore che li unisce , la forza che il primo esercita sul secondo è:

Dove è il campo generato dal primo circuito:

Quindi la forza è:

Posto , possiamo riscrivere:

Quindi otteniamo:

Osserviamo che il primo membro presenta un termine che è sempre nullo (la circuitazione di un gradiente è sempre nulla perché è un campo conservativo). In conclusione, la forza che il primo circuito esercita sul secondo è:

In questa formulazione si nota immediatamente il terzo principio della meccanica: questa forza è proprio uguale e contraria alla forza che il secondo circuito esercita sul primo.

Definizione operativa di ampere[modifica | modifica wikitesto]

Finora abbiamo trattato numerose unità di misura derivate dall'ampere, senza però dare una definizione operativa di questo. Per far ciò dovevamo prima introdurre l'induzione tra circuiti e le forze che si esercitano tra loro; ora che questo è stato fatto, possiamo finalmente definire l'ampere.

Consideriamo due fili infiniti percorsi dalla stessa corrente stazionaria e distanziati tra loro di ; applicando la legge di Biot-Savart, possiamo esprimere la forza che agisce tra i due (indichiamo con il versore che congiunge i due fili):

Definita quindi la forza per unità di lunghezza (non ha senso parlare di forza che agisce su due fili indefiniti, ma ha senso parlare di forza per unità di lunghezza) sul secondo circuito è:

Da questa formula si definisce quindi l'ampere come la corrente stazionaria che circola in due fili indefinitamente lunghi distanziati un metro l'uno dall'altro che si attraggono (o si respingono) con una forza per unità di lunghezza pari a:

Da questa definizione derivano poi tutte le unità derivate, come il coulomb, il volt, il tesla ecc..

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